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allora per x=5/3 tutti i termini della serie esistono e finiti (per favore non fatemelo dimostrare anche in questo caso).
inoltre preso $ j \in N $ sufficientemente grande allora $ \sum_{i=j}^{\infty}{\tan {1/2i}}=1/2 \sum_{i=j}^{\infty}{1/i} $ (grazie all'approssimazione ricordata da skyz), che diverge per ovvi motivi.

scusa ma tali termini sono positivi e tendono allo zero, cosa cè che non va?

Ciao jordan,
non si può, in generale, sostituire un termine non infinitesimo con uno infinitesimo;
il termine generale della serie ha l'argomento della tangente che tende a 1/2, quello che usi tu ha tale argomento infinitesimo.

luluemicia ha scritto: il termine generale della serie ha l'argomento della tangente che tende a 1/2,

scuse me, secondo la mia teoria 3*5/3 era minore di 5.