OliForum Matematico

Problema 48. (IMO Shortlist 2002) Trovare $ \displaystyle \min\{n \in \mathbb{N}_0 : \exists^{\text{no}}x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{Z} \text{ tali che } \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [1,n]}{x_i^3}=2002^{2002}\} $.

Non che dopo la tua risposta attenderai da parte mia una soluzione, ma giusto per comprendere almeno il testo, $ \exists^{\text{no}} $ sta per non esiste? E la notazione posta sotto il simbolo di sommatoria è un modo "alla jordan" per scrivere la più classica $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} $ , o sbaglio?

Se era "non esiste" allora il minimo sarebbe stato banalmente 1 o sbaglio (i.e. vuol dire "esistono")? E comunque la sommatoria si, è equivalente, anche se direi che la mia è più precisa

Traduco...
Trovare il minimo numero di numeri tali che la somma dei loro cubi dia $ 2002^{2002} $...
Magari qualcuno leggendo una cosa in italiano trova coraggio e ci prova

p.s. ovviamente non c'è da aspettarsi che io risolva questo problema, lo avevo affrontato gia un po di tempo fa... senza riuscire a farlo

jordan ha scritto:Se era "non esiste" allora il minimo sarebbe stato banalmente 1 o sbaglio (i.e. vuol dire "esistono")?

Ovviamente avevo letto il testo carattere per carattere come un automa, però devo ammettere che il mio cervello a volte fa ancora un buon lavoro dato ,mentre studiavo fisica, ha rimesso insieme i vari pezzi arrivando ad ipotizzare che se fosse significato "non esiste" il problema sarebbe stato troppo banale.
Aldila di questa notevole storiella ti ringrazio per le risposte.

jordan ha scritto:anche se direi che la mia è più precisa

No, è proprio uguale

Con un durissimo lavoro (di ricerca in internet) ho dimostrato che il minimo è inferiore o al più uguale a 9
Qualcuno potrebbere dare qualche idea? Finora la mia testa non ha prodotto molto oltre al fatto che $ 2002=2\cdot7\cdot11\cdot13 $ ...
A dir la verità qualche altra idea l'avrei pure, però per ora mi fermo qui che ho fatto troppo

Ok, un hint molto forte, se qualcuno non è interessato è pregato di non leggerlo Z/9Z.

Uhm... questo problema era orrendo (sempre che la soluzione sia giusta) xD
Modulo 9 si ricava che servono almeno 4 cubi. E questo numero basta come mostrato:
$ $ (2002^{667}\cdot 10)^3+(2002^{667}\cdot 10)^3+(2002^{667})^3+(2002^{667})^3=2002^{2002} $

dario2994 ha scritto:Uhm... questo problema era orrendo

LOL (Vogliamo parlare del tuo precedente? )
A te il prossimo comunque xd

Il mio precedente era bellissimo :D
Stavolta ne propongo uno che non sono ancora riuscito a risolvere... ma confido nella vostra bravura xD

$ $\forall a\in\mathbb{N}\ \ \exists b\in\mathbb{N}\ \ t.c.\ \ a\not=b\ ,\ \ \varphi (a)=\varphi(b) $

Proposto nel 2005 da Hitleleur... mai postata la soluzione

p.s. è probabile che sia noto/banale o perfino falso... nel caso mi scuso.

p.p.s. ecco il thread da cui l'ho riesumato:
viewtopic.php?t=3095&sid=dca4b89065e397 ... cff2d95ca0

Supponiamo $ ~ a $ dispari.

$ ~ \varphi(a) = 1 \cdot \varphi(a) \ \rightarrow \ \varphi(a) = \varphi(2) \cdot \varphi(a) \ \rightarrow \ \varphi(a) = \varphi(2a) $ dato che per due coprimi phi è moltiplicativa.

Per cui se $ ~ a $ è dispari $ ~ \varphi(a) = \varphi(2a) $

EDIT: per il caso $ ~ a $ pari ci penso (thanks maioc)

Haile ha scritto:Per cui se $ ~ a $ è pari $ ~ \phi(a) = \phi(\tfrac{a}{2}) $

questo vale solo se a non è multiplo di 4, infatti la funzione è moltiplicativa ma non completamente moltiplicativa,cioè $ f(ab)=f(a)f(b) $ solo se a e b sono coprimi

Maioc92 ha scritto:

Haile ha scritto:Per cui se $ ~ a $ è pari $ ~ \phi(a) = \phi(\tfrac{a}{2}) $

questo vale solo se a non è multiplo di 4, infatti la funzione è moltiplicativa ma non completamente moltiplicativa,cioè $ f(ab)=f(a)f(b) $ solo se a e b sono coprimi

Ah, ecco. Ho modificato il mio post limitando la soluzione ai dispari, per ora.

jordan ha scritto:$ \displaystyle \exists^{\text{no}} $.

Consiglio: in un contesto ufficiale (Cesenatico, un qualche esame, e simili) non usate simboli che non siano di larghissimo uso, il correttore potrebbe avere poca voglia di immaginarsi cosa vogliate dire. Io questo simbolo non lo avevo mai visto.