OliForum Matematico

Simo_the_wolf ha scritto:Problema 9
[...]
b) Dato $ a \in \mathbb{Z} $ con $ |a|>1 $, esiste un polinomio a coefficienti interi non costante di grado minore o uguale a $ n $ tale che $ P(i) $ è una potenza di $ a $ per $ i=0,..,n $ (numeri distinti, potenze distinte)?

Bello!

Esistono degli interi non negativi $ x,y,z,w,r $ tali che:
i) $ n! = |a|^x (y|a|+z) $
ii) $ 0<z<|a| $
iii) $ w:=gcd(z,|a|) $
iv) $ \displaystyle y|a|+z \mid r:=a^{2\phi(y|a|+z)}-w $

Allora $ P(x):=a^{2x} \left( \displaystyle \sum_{i=0}^n{\binom{x}{i}r^iw^{n-i}\right)} \in \mathbb{Z}[x] $ soddisfa tutte le ipotesi del problema.

ora che abbiamo risolto un problema a testa (se la mia soluzione è accettabile) a chi spetta postare il prossimo?

A te il prossimo..

Ps. comunque la soluzione corretta per il punto a) è quella di federiko 97..

jordan ha scritto:Ps. comunque la soluzione corretta per il punto a) è quella di federiko 97..

Allora sta a lui.....in ogni caso sono a corto di problemi da postare

Ok, allora, se qualcuno ha qualche idea, proponga..

questo!

Ok kn..
ho trovato una generalizzazione del problema 4 a mio parere molto interessante (non ho reference o dimostrazioni..)

"Siano dati due polinomi $ p(x),q(x) \in \mathbb{R}[x] $ tali che $ deg(p(x))=deg(q(x))=n \in \mathbb{N}_0 $ della forma $ \displaystyle p(x)=\sum_{i=0}^n{a_ix^i} $ e $ \displaystyle q(x)=\sum_{i=0}^n{b_ix^i} $, entrambi con tutte le radici reali. Allora anche $ \displaystyle h(x)=\sum_{i=0}^n{a_ib_ix^i} $ ha tutte le radici reali".

Non mi pare corretta...
$ p(x)=q(x)=x^2-1 $ hanno radici $ \pm1 $, ma $ h(x)=x^2+1 $ non ha radici reali.

si hai ragione.. l'avevo presa da qui, allora torniamo al problema originale di karl..

ti sei dimenticato l'ipotesi che uno dei due polinomi ha tutte le radici concordi (e tutte non nulle, altrimenti c'è un controesempio)

Non ho la soluzione del mio vecchio quesito : la speravo da voi !
Comunque beccatevi questo ( facilotto ,forse...):

Dimostrare che :
$ \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin2x}{\cos^2x}+\frac{\sin3x}{\cos^3x}+...+\frac{\sin nx}{\cos^nx}=\cot x -\frac{\cos(n+1)x}{\sin x \cos^nx} $

dove $ \displaystyle x \ne k \frac{\pi}{2} $ ,essendo k un intero.

Per induzione dovrebbe funzionare.

Passo base (n=1):
$ \dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos2x}{\sin x\cos x} $
$ \sin^2x-\cos^2x=-\cos2x $
banalmente vera.

Passo induttivo:
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{\sin ix}{\cos^ix}=\cot x-\dfrac{\cos(n+2)x}{\sin x\cos^{n+1}x} $
$ \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\sin ix}{\cos^ix}+\dfrac{\sin(n+1)x}{\cos^{n+1}x}=\cot x-\dfrac{\cos(n+2)x}{\sin x\cos^{n+1}x} $
$ \cot x-\dfrac{\cos(n+1)x}{\sin x\cos^nx}+\dfrac{\sin(n+1)x}{\cos^{n+1}x}=\cot x-\dfrac{\cos(n+2)x}{\sin x\cos^{n+1}x} $
$ \sin x\sin(n+1)x+\cos(n+2)x=\cos x\cos(n+1)x $
$ \sin x(\sin nx\cos x+\cos nx\sin x)+\cos nx\cos2x-\sin nx\sin2x= $$ \cos x(\cos nx\cos x-\sin nx\sin x) $
$ \sin x\cos x\sin nx+\sin^2x\cos nx+\cos^2 nx\cos nx-\sin^2x\cos nx-2\sin x\cos x\sin nx $$ =\cos^2x\cos nx-\sin x\cos x\sin nx $
che è vera (tutti i termini si annullano vicendevolmente).

karl ha scritto:Non ho la soluzione del mio vecchio quesito : la speravo da voi !

Sei sicuro almeno che abbia una soluzione olimpica?

@pak-man
Ok! La mia soluzione si basa su una identità trogonometrica ma siamo lì ...

@jordan
Presumo che una soluzione elementare ci sia ,trattandosi di polinomi.
Pare che tutto stia nel seguente lemma:

Se f( x) e $ g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n $ sono polinomi
a radici tutte reali ,ha radici tutte reali anche il polinomio:
$ a_0f(x)+a_1f'(x)+a_{2}f^{''}(x)+...+a_nf^{(n)}(x) $

Ovvero dalla padella nella brace !

Questi giorni sono in condizioni patologicamente paranoiche perché la graduatoria degli ammessi in Normale si ostina a non uscire, comunque sarei dell'idea che, se tu prendi il polinomio $ \displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^{n-i} $ che per ipotesi ha tutte radici reali e lo mandi nel polinomio $ \displaystyle\sum_{i=0}^n a_ib_ix^{n-i} $ dove i $ b_i $ sono reali positivi tali che $ b_{i-1}b_{i+1}\le b_i^2 $ allora ottieni un altro polinomio sempre a tutte radici reali. Viste le mie precarie condizioni non sono ancora riuscito a dimostrarlo In compenso sono mediamente convinto che sia vero e che non sia così difficile... Qualcuno che si cimenta?