OliForum Matematico

Allora va bene.

EDIT:
No, mica tanto bene:

Xamog ha scritto:per chi non ha *mai* partecipato ad uno stage a Pisa (Senior, PreIMO o Winter Camp), *e frequenta un anno di corso minore od uguale al terzo*, sono gli esercizi assegnati come lavoro singolo al PreIMO *2007* (duemilasette);

Brutti fannulloni.

Aggiornamento: ho visto che sul pdf del sito di Gobbino c'è anche un accenno di soluzione a pag. 13, dove suggerisce un paio di metodi (ma ovviamente lo sapevate... (? ?)). C'è press'a poco il mio, ed un altro un po' più veloce, che vi vado a narrare.

Evitiamo il passaggio con f(f(f(x))), e facciamo direttamente la sostituzione y:=f(z). Arrivati a $ f(x+z+7)=f(x)+f(z) $, possiamo dire subito f(x):=g(x+7), e zac!

$ g(x+z+14)=g(x+7)+g(z+7) $,

che previa sostituzione x:=x-7, z:=y-7 si riduce nuovamente a Cauchy. Come ormai sarà ovvio, anche qui vanno fatte più o meno esplicitamente tutte le considerazioni su campi di esistenza e menate varie che dicevo prima.

Tibor Gallai ha scritto:Per il (3), anche il link di fph è utilissimo, e forse spiegato meglio di wikipedia.

Se mi dicevi che era spiegato peggio della wikipedia italiana mi offendevo seriamente.

No no, ma FeddyStra linkava quella inglese...
Quantunque anche quella italiana sia fatta a modo, su questo argomento. La prima parte è tradotta pari pari dall'inglese, la seconda salta la discussione delle soluzioni non lineari e mette le equazioni analoghe coi prodotti, etc.

Però da nessuna parte trovo una condizione sufficiente per la linearità che forse è utile quanto le altre (monotonia, continuità, etc), e cioè che
$ x>0 \implies f(x)>0 $.

La condizione più potente è che, disegnando il grafico della funzione, ci sia almeno un piccolo cerchietto del piano che resta bianco. Se vale questa condizione, ogni funzione lineare è una retta.

edriv ha scritto:Se vale questa condizione, ogni funzione lineare è una retta.

Ogni funzione lineare è una retta anche se non vale la condizione...
(che soddisfazione, sto puntualizzando una frase di edriv! )

Voglio dire che per definizione di linearità si richiede anche che f(ax)=af(x).

Comunque ricordo che la condizione più forte che hai enunciato è verissima, ma a volte uno cerca dei modi semplici per poterla verificare su un'equazione funzionale. Quindi la monotonia può essere facile da verificare, e secondo me anche la positività, in qualche caso pratico (o "permanenza del segno", per dirla meglio).