OliForum Matematico

gh... ghgh... ghghgh... ghghghgh... muahahahahahahah... gh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

CONFERMO l\'entusiasmo espresso stamattina!!! Penso proprio di averlo finalmente fatto fuori, questo dannatisssssimo problema! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Vi dico soltanto questo... madeeeeeeeena... ghgh!!! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 03-03-2004 17:18 ]

Alloooooora... aggiungo quest\'hint!!! Se vi nomino tale A.V. Lebesgue e il tanto più famoso Ko Chao... cosa vi viene in mente? ghgh
 
 <center><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> Euler vuol tirarla per le lunghe, giusto così per far ammattire Antimateria! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> </center> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-03-2004 11:21 ]

Mi viene in mente che hai avuto una bella idea..
 
 Presa x[1]=3 x[2]=17 x[n+2]=6x[n+1]-x[n]
 e y[1]=2 y[2]=4 y[n+2]=2y[n+1]+y[n]
 
 Osserviamo che x[n] = (-1)^n + (y[n])^2
 (basta scrivere i formuloni espliciti e verificare l\'identità)
 
 Ora il teorema di Ko Chao ci assicura che x^2 = y^m + 1
 non ha soluzioni a parte quella banale (x=3,y=2,m=3) mentre
 x^2 = y^3 + 1 è decisamente più facile da trattare..

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-04 04:32, J4Ck202 wrote:
 Mi viene in mente che hai avuto una bella idea...
 
 Presa x[1]=3 x[2]=17 x[n+2]=6x[n+1]-x[n]
 e y[1]=2 y[2]=4 y[n+2]=2y[n+1]+y[n]
 
 Osserviamo che: x[n] = (-1)^n + (y[n])^2
 (basta scrivere i formuloni espliciti e verificare l\'identità)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ecco, Mind! Prendi esempio da Jack, su! Le sue argomentazioni sono sufficienti a dimostrare che la condizione espressa nel problema di Biagio è certamente soddisfatta in quanto alla successione {xn}.
 
 Ma per quel che riguarda l\'altra sequenza, quella degli {yn}? Beh, a questo punto posso dirvelo... l\'arcano è stato svelato finalmente, quantomeno in parte.
 
 E allora, se per dimostrare la mancata presenza di cubi fra i divisori del generico termine della successione {xn} si può usare il teorema di Ko Chao, per l\'altra si deve anche applicare un analogo risultato associato al nome del sommo Lebesgue, considerando (rullino i culi e sfiatino le trombe) che:
 
 p.o. n€N: xn+2 = (2*sqrt[xn+1+(-1)n] + sqrt[xn+(-1)n+1])2 + (-1)n, con x0 := 1.
 
 Beh, Jack! Non sprecarti in complimenti! Non ve n\'è bisogno... ché mi basta l\'ammmore della bella lady gomorra, a ricompensa degli sforzi miei rettali! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Teorema di Ko Chao: l\'equ. x2 = ym + 1 ammette come uniche soluzioni non banali (x*y != 0) sugli interi le triplette (x, y, m) = (±3, 2, 3).
 
 Teorema di V.A. Lebesgue: l\'equ. xm = y2 + 1 non ammette alcuna soluzione non banale (x*y != 0) sugli interi.
 
 P.S.: per ambedue i teoremi, come peraltro sottolineato dal buon Jack, il caso m = 3 non presenta particolari difficoltà sotto il profilo dimostrativo, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
 
 P.P.S.: ok, buona giornata! Ché qui mi mazzano, se non torno subito al \"lavoro serio\", così come lo chiaman \"loro\". Uffa... questo forum è diventato una droga, cristo santo! Non riesco proprio più a farne a meno!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 EDIT 1: dimenticavo d\'aggiungere che la relazione indicata dal nostro Jack può essere sostituita, all\'occorrenza, dall\'identità: x2n = [yn]2+1, cosicché non si renda necessaria l\'introduzione d\'una successione ausiliaria differente dalla {yn} del problema originario! OK, scappo via di nuovo! Ciaaaaaooo...
 
 EDIT 2: non avevo notato una certa qual cosa... grazie, Biagio!!! ghgh... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-03-2004 18:46 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-04 04:32, J4Ck202 wrote:
 Ora il teorema di Ko Chao ci assicura che x^2 = y^m + 1
 non ha soluzioni a parte quella banale (x=3,y=2,m=3) mentre
 x^2 = y^3 + 1 è decisamente più facile da trattare...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 E comunque, giusto per amor di verità... le soluzioni banali sarebbero della forma (x=0, y=-1, m=2k-1) e (x=±1, y=0, m=k), con k€N0. Inoltre, l\'equ.: x2 = ym+1, essendo simmetrica per inversioni sul segno della variabile x, ammette in realtà le due soluzioni non banali (x=±3,y=2,m=3). Comunque, siamo d\'accordo sul fatto che, al di là delle piccole distrazioni, quel che conta veramente sono le IDEE... e le tue, buon Jack, sono (al di là di tutto il resto) più che ottime, se mi è permesso dirlo!!! In ogni caso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-03-2004 19:16 ]

ok
 però non penso che Anti si riferisse a \'sta roba qua quando parlava di \"mamma Cortona\"...
 
 giusto??
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

Beh, dopo i vostri essenziali suggerimenti, mi sono lanciato nello sforzo di dare una dimostrazione che riassumesse un po\' tutte le belle idee che spero siano saltate fuori da questo esercizio.
 
 bisogna prima risolvere il sistema scrivendo ogni successione in modo indipendente dall\'altra, e si ottiene:
 
 xn+1=6xn-xn-1
 yn+1=6yn-yn-1
 
 ora si può riscrvere ogni successione come:
 
 n€N: xn+2 = (2*sqrt[xn+1+(-1)n] + sqrt[xn+(-1)n+1])2 + (-1)n.
 
 n€N: yn+2 = (2*sqrt[yn+1+(-1)n] + sqrt[yn+(-1)n+1])2 + (-1)n.
 
 definiamo ora hn e kn come:
 
 hn+2=(2*sqrt[xn+1+(-1)n] + sqrt[xn+(-1)n+1])
 
 kn+2=(2*sqrt[yn+1+(-1)n] + sqrt[yn+(-1)n+1])
 
 valide per n>1, hn e kn saranno chiaramente intere
 
 avremo quindi che sostituendo
 n€N: xn+2 = (hn+2)2 + (-1)n.
 
 n€N: yn+2 = (kn+2)2 + (-1)n.
 
 ora è sufficiente dimostrare che, per a, b interi, le seguenti relazioni non possono essere soddisfatte.
 a3 = b2 + 1 (per gli n pari)
 a3 = b2 - 1 (per gli n dispari)
 
 -per n pari si che:
 (a - 1)( a2 + a + 1) = b2
 ma (a - 1) è primo con ( a2 + a + 1), dunque
 a-1= c2
 a2 + a + 1=d2
 c2d2= b2
 
 sostituendo:
 c4+3 c2+3 = d2
 
 ma il membro a sinistra è congruo a 3 mod4, dunque non può essere un quadrato (si sfruttino i residui quadratici mod4).
 
 -per n dispari si che:
 a3 = (b - 1)(b+1)
 ora, (b - 1 ) e (b+1) non possono essere primi tra loro, perchè se così fosse dovrebbero essere cubi entrambi, ma non esistono cubi la cui differenza sia 2.
 Dunque b dev\'essere dispari e a pari.
 Poniamo dunque a=2t, b=2u+1
 Sostituendo:
 2t3 = (u)(u+1)
 ora, se u è pari: possiamo porre u=2z, da cui
 t3=z(2z+1)
 ...qui mi blocco
 
 ora, poiché x1, x2, y1, y2 non sono cubi, possiamo concludere che in nessuna delle due successioni compaiono cubi.
 
 L\'unico baco che rimane sta nella dimostrazione del caso in cui n sia dispari(dire: vale per il teorema di Ko Chao e questa equazione ne è un caso particolare non mi sembra il modo migliore per farlo, spero ne esista uno po\' più carino)
 
 Quindi...rilancio:
 trovare tutte le sol. Intere dell\'equazione
 
 a3 = b2 - 1
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 04-03-2004 20:26 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-04 20:01, talpuz wrote:
 però non penso che Anti si riferisse a \'sta roba qua quando parlava di \"mamma Cortona\"...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... guarda, Talpuz, che Anti non aveva nemmeno lui un\'idea precisa di quel che esattamente stesse dicendo!!! Eppure, te dovresti saperlo meglio di me, che apre la bocca soltanto per ruttare e allarga le gambe giust\'appunto per rilasciare olezzi degni dei più mefitici miasmi dell\'inferno! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-03-2004 20:37 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-04 20:23, Biagio wrote:
 ora si può riscrvere ogni successione come:
 
 n€N: xn+2 = (2*sqrt[xn+1+(-1)n] + sqrt[xn+(-1)n+1])2 + (-1)n.
 
 n€N: yn+2 = (2*sqrt[yn+1+(-1)n] + sqrt[yn+(-1)n+1])2 + (-1)n.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 queste come le ricavi?
 (in modo umano, non sostituendo e facendosi i contazzi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> )
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 -per n pari si che:
 (a - 1)( a2 + a + 1) = b2
 ma (a - 1) è primo con ( a2 + a + 1)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ??????? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 a=4 --> a-1=3, a2 + a + 1 = 16 + 4 + 1 = 21 = 7*3
 
 forse mi sfugge qualcosa.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 05-03-2004 20:41 ]

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