OliForum Matematico

4)f: N -> N tale che
 
 f(m+f(n))=n+f(m+100) per ogni m,n in N
 
 Sol: f(n)=n+100 per ogni n€N
 
 Dimostrazione:
 
 Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è iniettiva.
 Poniamo m=f(x) e n=y e otteniamo:
 
 f(f(x)+f(y))=y+f(f(x)+100)=x+y+f(200)
 
 Poniamo m=100 e n=x+y ottenendo:
 
 f(100+f(x+y))=x+y+f(200)
 
 Quindi f(f(x)+f(y))=f(f(x+y)+100) e, per l\'iniettività:
 
 f(x)+f(y)=f(x+y)+100
 
 ponendo f(x)=g(x)+100 otteniamo:
 
 g(x)+g(y)=g(x+y)
 
 che ha come soluzione g(x)=ax con x€N per quanto detto nella dispensa di fph. Ora sostituiamo l\'eq trovata f(x)=ax+100 nell\'e.f. iniziale e troviamo:
 
 f(m+f(n))=n+f(m+100)
 am+a²n+100a+100=n+am+100a+100
 a²n=n
 
 che ha per soluzione a=+1 o a=-1 ma visto che f(-) va da N in N l\'unico valore accettabile è a=1
 
 Quindi f(n)=n+100 per ogni n€N
 
 C.V.D. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 P.S.: Possiamo estendere la sol a Z con |a|=1 e, vosto che ora è biiettiva (quindi invertibile) si può estendere il risultato anke su R con |a|=1
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 22-07-2004 16:44 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-07-2004 14:04 ]

Mi sembra che funzioni... Bravo Simo!
 
 --f

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è biiettiva.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 Io ho necessita\' di qualche ulteriore spiegazione sul passo citato sopra.
 
 In particolare dove e\' che f(.) e\' biiettiva? Sono convinto che lo e\' per valori maggiori od uguali ad f(100), ma per valori inferiori, come si vede?
 
 Un\'altra perplessita\' e\' l\'uso del valore 0 sulle variabili della formula che per ipotesi e\' valida per valori naturali.
 
 Grazie anticipate a chi vorra\' chiarirmi questi dubbi.

beh... 0 appartiene ad N <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 quanto all\'altra questione, c\'è da dar ragione a rocco...
 magari si può considerare la funzione sul campo intero e poi fare le adeguate restrizioni... altrimenti sui naturali NON è biiettiva (f(n)>99).

In effetti, mi sembra di capire, non serve la bijettivita\' ma basta l\'iniettivita\' e su questa mi ci ritrovo.
 
 davvero una bella soluzione!!!

scusate tanto...è un po\' che mi aggiro per le pagine di questo forum, di rado intervenendo...e mi rendo conto che non so proprio nulla di matematica!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> non so chi sia questo Engel...non ho mai sentito parlare di equazioni funzionali...mi sento veramente un ignorante!!
 c\'è secondo voi qualche remota possibilità di capirci qualcosa anche senza essere un genio? (come credo molti di voi qui..) e in tal caso, come??
 parlo seriamente eh! voglio veramente imparare a capirci qualcosa!! e, scusa fph, ma tu hai scritto un manuale?? ma quanti anni hai??? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 è incredibile...vedo nello schermo del mio computer un regno per me del tutto inesplorato e che tuttavia mi affascina molto!
 spero che qualcuno mi dia qualche suggerimento per COMINCIARE ad imparare! (partiamo dell\'ABC...però eh <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )
 
 grazie e complimenti a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 il vecchio

ok Simo!
 
 dopo aver trovato
 
 f(x)+f(y)=f(x+y)+100
 
 si poteva anche porre y=1 e dimostrare per induzione che
 
 f(x)=x(f(1)-100)+100
 
 cioè f(x)=kx+100 e da lì avanti
 
 cmq va benissimo come hai fatto tu, anzi forse è più breve <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

In effetti e\' vero che non e\' suriettiva (la soluzione n+100 lo testimonia...), m\'era sfuggito quando ho dato la mia \"benedizione\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> alla soluzione di Simo (come un piccolo refuso quando dice \"sostituiamo n=f(x+y)\" e invece e\' x+y... ma son dettagli).
 Cmq una delle idee base sotto quell\'e.f. e\' il fatto che la relazione ffn=n+qualcosa permette, con la sostituzione n->f(n), di \"portare fuori\" un simbolo di funzione in piu\' o in meno. Cosi\' si puo\' trasformare l\'asimmetrico m+f(n) in un simmetrico m+n (o f(m)+f(n)) e poi applicare l\'idea base \"scrivi f(n+1) in funzione di f(n)\" (almeno da un certo punto in poi).
 
 To Vecchio: sono un \"ex-ragazzo delle olimpiadi\" di 21 anni (classe \'83), ora studio matematica, perdo tempo su questo forum <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e do una mano (per come posso...) agli organizzatori.
 Ho scritto una breve dispensa sulle equazioni funzionali (la trovi su fph.altervista.org), non e\' niente di cosi\' organico o devastante... anzi, mi ci sono divertito. L\'Engel e\' un libro di preparazione per le gare IMO-like, in inglese, molto istruttivo e ben godibile da un livello >=Cesenatico (=non c\'e\' troppissima teoria avanzata e cose date per scontate...)
 
 Equazioni funzionali: ti sarai reso conto di cosa sono dagli esempi che sono passati su questo topic, sono \"equazioni con una funzione per incognita\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Sono un argomento \"classico\" del problem-solving, forse non sono la cosa migliore da cui iniziare (serve un po\' di \"tecnica\") ma sono molto divertenti... soprattutto perche\' si risolvono con pochissima teoria, basta solo \"smanettare\" un po\' con le relazioni algebriche e le sostituzioni.
 Ti rimando alla mia dispensuola se vuoi saperne di piu\' (mi faccio pubblicita\' in modo spudorato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
 
 ciao,
 --federico

Ciao Simo!
 Non mi è chiara una cosa:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-22 16:42, Simo_the_wolf wrote:
 Poniamo m=0 e otteniamo f(f(n))=n+f(100) quindi f(-) è biiettiva.
 Poniamo m=f(x) e n=y e otteniamo:
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Si puo\' porre, se f non è surgettiva, m=f(x)?

in effetti qui ho sbagliato a spiegare... diciamo che al posto di m metto f(x) partendo da f(x) e non m. cioè dico: esiste un numero m tale che f(x)=m e non esiste un x tale che m=f(x)
 
 C\'è da fare una ulteriore precisazione: sappiamo per certo quindi che:
 f(n)=an+100 (con |a|=1)
 
 per n>100 abbiamo che a=1 altrimenti f(n) sarebbe negativo ma non sappiamo per 100>n se a=1 o a=-1. Ovviamo a questo problema prendendo:
 
 f(x)+f(y)=f(x+y)+100
 
 supponiamo che esista un n minore di 100 tale che f(n)=100-n. allora:
 
 f(n)+f(101)=f(n+101)+100
 
 sia 101 sia 101+n sono maggiori di 100 quindi:
 
 f(n)=(n+101+100)+100-(101+100)=n+100
 
 Quindi f(n)=n+100 per ogni n naturale [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 24-07-2004 14:16 ]

1) e\' tutto lecito... esplicitando meglio, \"fissato un numero x \\in N, riscrivo l\'e.f. (che valeva per ogni m \\in N) ponendo m=f(x) (x e\' fissato, quindi f(x) e\' un naturale ben determinato e possiamo sostituirlo dove piu\' ci serve)\".
 
 2) hmm... forse qui Simo fa un po\' di confusione: si preoccupa del fatto che potrebbe essere a=1 per certi valori della variabile (n>100) e a=-1 per altre; in generale e\' una cosa a cui stare attenti, pero\' Simo si e\' richiamato alla soluzione dell\'equazione di Cauchy, e il teoremone dice che e\' f(x)=ax, per un certo a, per /ogni/ valore di x: a e\' fissato, non cambia a seconda della x. (Se cosi\' non fosse in realta\' il teorema darebbe ben poche informazioni... tutte le funzioni nulle in 0 si scrivono come f(x)=a(x)*x ).
 
 Spero di essermi spiegato bene... in generale, se ricaviamo f(x)=(+/-) x + 100 da una cosa del tipo (fx-100)^2=x^2 dobbiamo preoccuparci del fatto che il segno potrebbe cambiare, ma nel caso in esame il teorema applicato ci dice che fx=ax+100 per un a /fissato/...
 ciao,
 --f

Ok, ora ho capito... non so perche\', ma ero convinta che per fare quella sostituzione fosse necessario dire che f è suriettiva. Sarebbe diverso il caso in cui si deve sostituire f(x) con m, perche\' questo implica che m appartiene all\'immagine e potrebbe non assumere tutti i valori... ma qui si fa la sostituzione al contrario ed è diverso.
 Ora mi è veramente chiaro.
 Grazie per le delucidazioni!
 Maria

Rilancio:
 
 1)Determinare le funzioni di una variabile che soddisfano la seguente equazione funzionale: f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2. (Cortona 198<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">.
 
 2)Sia f una funzion strettamente crescente, definita per x>0, che soddisfa alle condizioni: f(x)>-1/x, per ogni x; f(x)f(f(x)+1/x)=1 per ogni x.
 Determinare f(1). (Cortona 1989).
 
 3)Dire per quali valori di a esiste una funzione f:N-->N con le proprieta seguenti: f(f(n))-2f(n)+n=0 per ogni n appartenente ad N; f(0)=10;
 f(1001)=a. (Cortona 1990).

Provo la (1)
 Per x=y=0--->f(0)=1
 Per x=0,y reale qualunque:
 f(y)-2f(-y)+1-2f(y)=y-2 da cui
 (1) f(y)+2f(-y)=3-y
 e cambiando y in -y:
 (2) f(-y)+2f(y)=3+y
 e sottraendo dalla (2) la (1):
 (3) f(y)-f(-y)=2y
 e sommando la (2) e la (3):
 3f(y)=3y+3 ,da cui :
 f(x)=x+1

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-25 12:27, massiminozippy wrote:
 
 2)Sia f una funzion strettamente crescente, definita per x>0, che soddisfa alle condizioni: f(x)>-1/x, per ogni x; f(x)f(f(x)+1/x)=1 per ogni x.
 Determinare f(1). (Cortona 1989).
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 visto che f è strettamente crescente, è anche iniettiva
 
 supponiamo che esista un y>0 tale che f(y)=0. sostituendo x=y nella relazione data si ha 0=1, assurdo
 
 quindi f(x)=/=0 per ogni x>0
 
 poniamo a=f(1) e sostituiamo x=1 nella relazione data
 
 a*f(a+1)=1 cioè f(a+1)=1/a
 
 sostituiamo ora x=a+1
 
 1/a * f(1/a + 1/(a+1))=1
 
 f((2a+1)/(a(a+1)))=a.
 
 allora per l\'iniettività
 
 (2a+1)/(a(a+1))=1
 
 a2-a-1=0 (a=/=0 e a=/=-1, poichè per ipotesi f(x)>-1/x)
 
 a=(1 +- sqrt(5))/2
 
 quindi se c\'è una f che soddisfa tutte le condizioni, f(1)=(1 + sqrt(5))/2 oppure f(1)=(1 - sqrt(5))/2
 
 ora bisognerebbe verificare che effettivamente \'ste funzioni esistono... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

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