Inviato: 17 giu 2005, 15:41
volevo dire parallelogrammi
(ii)EvaristeG ha scritto: Nota : quest'ultimo problema è il primo del 4° round del 5th Mathlinks Contest, la cui data termine era il 4 Giugno. La richiesta originale del problema era il secondo punto; ho aggiunto il primo come guida ad una soluzione che utilizzi solo gli esercizi svolti in precedenza.
13) Sia ABC un triangolo acutangolo, sia M il punto medio di BC e siano BE e CF le altezze di ABC; sia infine D un punto diverso da M sulla circonferenza circoscritta a MEF tale che DE=DF. Dimostrare che :
(i) detta K l'ulteriore intersezione della circonferenza circoscritta a MEF con BC, EKF è il triangolo ortico di ABC
(ii) AD è perpendicolare a BC.
Il circocentro di EFM è il centro di Feuerbach, si chiami O il suo centro e H l'ortocentro di ABC. L è il piede della perpendicolare condotta da A. E' banale che M è il simmetrico di D rispetto a O.
D è il punto medio di AH. Dimostriamolo: chiamiamo T il punto medio di AH, <HLM=90 quindi MT è diametro del cerchio e MO=OT,quindi T==D. Quindi AD e AH sono la stessa retta
q.e.d.