Gauss_87 ha scritto:scusa BMcKMas ma quando dicevo risoluzione finale intendevo se potresti darci la formula finale del periodo secondo il tuo ragionamento!
Inoltre non scordare che bisogna discutere i limiti delle masse e determinare la traiettoria di moto della locomotiva rispetto al riferimento fisso!
Comunque hai ragione, in effetti è bene considerare non solo il moto dei CM di locomotiva e binari, ma anche la rotazione dei binari in quanto corpo rigido.
Quindi avevo anche pensato di... buttarla sull'Energia (non so se il tuo ragionamento intendeva questo perchè non mi è tanto chiaro).
Ora Vi chiedo: l'Energia che il sistema locomotiva + binari è la stessa indipendentemente se CM dei binari si muove o no???
Se fosse la stessa si avrebbe:
$ m v_0^2 = m v_L^2 + M v_B^2 + I \omega^2 $
(dove I è il Momento di Inerzia di un Anello: $ M R^2 $,
$ \omega $ è la velocità angolare con cui i binari ruotano attorno al loro centro geometrico, ma non sono sicuro su quale velocità tangenziale usare per ricavarla)
Che ne dite?
Vi posto la mia soluzione (ovviamente da verificare), in cui chiamo:
$ \rho = \frac {m} {M} $ il rapporto delle masse
$ T_0 = 2\pi \frac{R}{v_0} $ il periodo nel caso di binario bloccato a terra
$ a $ il raggio della traiettoria del trenino
$ A $ il raggio della traiettoria del baricentro del binario
$ T $ il periodo comune dei moti circolari dei baricentri
a me risulta:
$ a= \frac {1} {1+\rho} $
$ A= \frac {\rho} {1+\rho} $
$ T = \frac {1+2\rho} {1+\rho} T_0 $
Per quanto riguarda i limiti....
Il primo ($ \rho \to 0 $ ) effettivamente non pone problemi
$ a \to R $ , $ A \to 0 $ e $ T \to T_0 $
è la sitazione fisicamente realistica di un binario massivo e un treno molto più piccolo.
Quando le masse sono confrontabili $ \rho >0 $ la soluzione prevede questo: il binario si muove, la traiettoria del trenino si riduce rispetto a $ R $ e il tempo di percorrenza della traiettoria aumenta.
Il caso limite opposto $ \rho \to \infty $ ha i seguenti esisti (matematici):
$ a \to 0 $ , $ A \to R $ e $ T \to 2T_0 $.
Quando il binario è poco massivo rispetto al treno si prevede quindi una specie di moto alla ulla-op (non so come si scrive).
Perchè è poco verosimile tale limite? Penso che la ragione sia questa: man mano che la massa del binario si riduce, il moto del treno tende a diventare di pura rotazione attorno al suo baricentro (ricordiamoci che il treno deve sempre essere orientato come il binario). Nel nostro modello però noi abbiamo assunto il treno come un punto materiale e quindi abbiamo trascurato degli effetti (energetici e dinamici) dell'inerzia rotazionale del treno. Questa ipotesi va bene finchè il treno è piccolo ma quando la sua massa diventa preponderante nel problema l'ipotesi diventa irrealistica: come fa un oggetto ad avere massa infinita e momento d'inerzia nullo? Non è strano quindi che per questo problema l'ipotesi di punto materiale per il treno diventa assurda quando la sua massa è prevalente. Per un treno molto massivo il fenomeno dipende in modo rilevante anche dalle altre sue caratteristiche inerziali, in particolare il momento d'inerzia di massa attorno al suo baricentro.
In pratica, supponiamo di prendere un grosso treno (inerzia infinita) e di farci scorrere sotto un binario privo di massa, cosa succede? Il treno sta fermo (anche come orientamento nel piano) e il binario gira attorno al suo baricentro (quello del binario che sta fermo), il periodo del moto è $ T_0 $. Questo è verosimile, tuttavia per ottenere tale risultato, in palese contrasto con quello ottenuto, dobbiamo considerare tendente a infinito anche il momento d'inerzia di massa del treno attorno al suo asse baricentrico, quantità che è stata per ipotesi ritenuta nulla nella precedente soluzione.
Per quanto riguarda la conservazione dell'energia cinetica, ovviamente anch'io l'ho usata ma in modo implicito (ipotizzando la conservazione del modulo delle velocità nei moti circolari). Dubito che ci sia un modo più semplice di usare questo principio nel caso in esame.
Non credo di essere stato molto chiaro, in ogni caso parliamone.
ciao a tutti
PS: mi sono accorto che avevo usato $ v $ invece che$ v_0 $ nel post precedente e l'ho corretto anche lì.