Problema di Cauchy

[SkZ]

@all:
Scusate parlo da ingenuo della materia: ma l'equazione non era risolvibile direttamente con la formula delle equazioni differenziali lineari ossia $ \displaystyle e^{\int a(x)dx} \left[ \int e^{-\int a(x)dx} b(x)dx \right] $ con $ a(x)=2 \mbox{ e } b(x)= \sin x $ ? Non si perviene direttamente alla stessa soluzione?

per certe equazioni puo' essere piu' semplice usare il metodo dei coefficienti. Se si intuisce che la soluzione deve avere una certa forma, la si inserisce e poi si stabiliscono i coefficienti di conseguenza. La teoria ci dice che la soluzione se esiste e' unica, quindi se ne trovi una e' quella.

[Apocalisse86]

Se serve a risolvere il tutto più facilmente ben venga (in alcuni casi) il metodo dei coefficienti allora!!
ciao SkZ e grazie...!

[Sosuke]

Una soluzione dell'eq di partenza si può trovare "indovinandone la forma" : nel nostro caso vogliamo ottenere un seno, quindi è ragionevole tentare di trovare una sol della forma $ a\cos(x)+b\sin(x) $.
In effetti vediamo che
$ -a\sin(x)+b\cos(x)+2a\cos(x)+2b\sin(x)=\sin(x) $ è verificata per 2b-a=1, 2a+b=0, quindi a=-b/2 e 3b/2=1 quindi b=2/3 e a=-1/3.

Non ho capito bene questo punto...

[SkZ]

supponi $ ~ y=a\cos(x)+b\sin(x) $ e sostituisci nell'equazione. a quel punto avrai delle condizioni sui coefficienti. Risolvendo a sistema ai la tua y

[Sosuke]

In pratica devo sostituire quello che ho a sinistra dell'argomento con quel sen e quel cos... giusto?

In pratica è come se per semplificare sostituissi
$ \displaystyle\frac{dy}{dx}+ 2y = sin x $ con
$ a\cos(x)+b\sin(x)=sin x $

esatto?

[SkZ]

supponi $ ~ y=a\cos(x)+b\sin(x) $ e sostituisci nell'equazione. a quel punto avrai delle condizioni sui coefficienti. Risolvendo a sistema hai la tua y

devi sostituire la y con la sua supposizione

[Sosuke]

quindi quella cosa di prima mi viene $ y'+2[a\cos(x)+b\sin(x)]= sin(x) $ ???

e poi.. la supposizione è sempre la stessa.. sia che dall'altra parte dell'uguale ci sia un seno o un coseno o un tangente... ecc???

[SkZ]

piu' che altro e'
$ ~ [-a\sin{(x)}+b\cos{(x)}]+2[a\cos(x)+b\sin(x)]= sin(x) $

[EvaristeG]

Hmm visto che la cosa si sta facendo pesante, Sosuke, ti consiglio di dare una bella studiata al capitolo sulle equazioni differenziali di un qualunque libro di analisi (sono sicuro che ste cose sul Marcellini Sbordone ci sono, mi pare anche sull'Acerbi Buttazzo), dove si parla dei metodi per trovare le soluzioni particolari alle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Non lo dico per cattiveria, ma è un argomento abbastanza standard e mi sembra una perdita di tempo per te e per noi abbozzarlo a spizzichi e bocconi qui sul forum.

[Sosuke]

il fatto è che sul libro che ho io, l'equazione viene risolta come diceva Apocalisse... ma come sempre mi blocco nell'integrazione per parti.... (anche perchè penso che in questo caso mi sembra infinita....)

Comunque il metodo di Evariste ora l'ho capito... i valori di a e b sono un tantino diversi ma il concetto... è chiaro... ho solo un pò (forse molto ) di tempo per capire...

grazie ancora

[Apocalisse86]

il fatto è che sul libro che ho io, l'equazione viene risolta come diceva Apocalisse... ma come sempre mi blocco nell'integrazione per parti.... (anche perchè penso che in questo caso mi sembra infinita....)

l'integrale che va risolto per parti è: $ \displaystyle \int e^{-2x} \sin xdx $ giusto ??

si risolve così:

$ \displaystyle-e^{-2x} \cos x-2\int e^{-2x} \cos xdx $=
continuando con l'integrazione per parti:
$ -e^{-2x} \cos x-2e^{-2x} \sin x-4\int e^{-2x} \sin xdx $=
ora come si può notare dopo queste due integrazioni per parti siamo giunti nuovamente all'integrale di partenza...cosa si fa?è inutile reiterare il metodo dell'integrazione per parti, si ritornerebbe sempre allo stesso punto! Allora ricapitoliamo tutti i passaggi:
$ \displaystyle \int e^{-2x} \sin xdx=-e^{-2x} \cos x-2e^{-2x} \sin x-4\int e^{-2x} \sin xdx $
ma dato che questa è un'uguaglianza possiamo portare $ -4\int e^{-2x} \sin xdx $ al primo membro ottenendo:
$ \displaystyle \int e^{-2x} \sin xdx + 4\int e^{-2x} \sin xdx = -e^{-2x}( \cos x+2 \sin x) $ =
$ \displaystyle 5\int e^{-2x} \sin xdx = -e^{-2x}( \cos x+2 \sin x) $
da qui ricaviamo la soluzione dell'integrale di partenza (moltiplicando ambo i membri di questa uguaglianza per 1/5):
$ \displaystyle \int e^{-2x} \sin xdx = -e^{-2x} \left( \frac {\cos x}{5}+\frac {2 \sin x}{5}\right) + C $

capito come si risolve quell'integrale?così se vuoi puoi applicare la formula delle equazioni differenziali del primo ordine lineari.... ......ciao!!!

[Sosuke]

Ah grazie.... che poi fra l'altro è lo stesso risultato che veniva a me, facendo il metodo di evariste...

[Sosuke]

Ho questo problema di Cauchy:

$ y'=ln(x+\sqrt{1+x^2})^y $ con la condizione $ y(1)=0 $

Sto provando a risolverlo con il metodo che ho imparato da Evariste:

$ y'=y ln(x+\sqrt{1+x^2}) $
$ \frac{y'}{y}=ln(x+\sqrt{1+x^2}) $

Ora qui prendo in considerazione solo la parte sinistra che è quella che mi mette in difficoltà... continuando viene:

$ \displaystyle\int_0^{y(t)}\frac{y'(x)}{y(x)} $ Sostituendo $ y(x)=v $
$ \displaystyle\int_0^{y(t)}\frac{dv}{v} $
$ \displaystyle[ln(v)]_0^{y(t)} $

Ecco c'è quel $ ln 0 $.. come lo devo trattare? attraverso un limite? come se fosse un integrale improprio?

[Marco]

Dunque, il passaggio incriminato è - in breve - che devi integrare entrambi i membri dell'eguaglianza.

Per aggiustare le costanti di integrazione, gli integrali a sx e a dx devono partire dallo stesso valore, ma nessuno ti obbliga a scegliere 0 come punto iniziale.

Nota anche che il tuo pb. di Cauchy parte da 1...

[Sosuke]

Si.. infatti inizialmente era 1...

$ \displaystyle\int_1^k\frac{y'(x)}{y(x)}dx $ (perchè il mio problema parte da 1... )

ma poi con la sostituzione ($ y(x)=v $) dovrebbe diventare
$ \displaystyle\int_0^{y(t)}\frac{dv}{v} $ (0 perchè è il valore che assume il mio problema nel punto inziale)... mi pare di aver capito così