Possiamo pensare tutto il nostro sistema di scale e di corde come un grafo lungo il quale si muovono le scimmie. Le regole per muoversi lungo il grafo, però sono un po' particolari. Quando si arriva ad un nodo con tre lati se si arriva dal basso si va sulla corda, se si arriva dalla corda si va verso l'alto (vedi figura).
Per semplificare questa situazione modifichiamo il grafo nel modo seguente. Ogni volta che abbiamo un nodo con tre lati, lo sostituiamo con il pezzo di grafo in figura, con due corde che si incrociano. In questo modo arrivando dal basso si è obbligati ad andare sulla corda, che è l'unico lato che parte da quel nodo, e arrivando dalla corda si è costretti ad andare verso l'alto.
In questo modo il moto delle scimmie non è cambiato, ma non ci sono più punti di diramazione (nodi con tre lati). In altre parole il grafo che si ottiene è un'unione di linee. Chiamerò "segmenti" le linee aperte, con due estremi, e "circonferenze" quelle chiuse. Nel piano queste linee si intersecano, ma non ci interessa.
Ogni scimmia parte da un estremo di un segmento, e non può fare altro che camminare lungo il suo segmento, fino ad arrivare all'atro estremo. Nell'altro estremo c'è una banana (non ci può essere un'altra scimmia, altrimenti la scimmia sarebbe scesa nell'ultimo tratto).
Btw, noto che le circonferenze corrispondono ai loop, che ci possono essere, ma non sono accessibili alle scimmie. Altra piccola osservazione, per chi sa di cosa parlo: in effetti sotto questa dimostrazione c'è la classificazione delle 1-varietà.
Ciao