OliForum Matematico

mmm... non è difficile ma non mi pare cosi noto.
Comunque sia k intero non negativo, allora la terna
$ x=2^{20k+8} $
$ y=2^{15k+6} $
$ z=2^{12k+5} $
è soluzione

Non ho detto che fosse difficile , infatti dopo il problema di dario2994 volevo proporre qualcosa di non tanto impegnativo. Porta pure avanti la staffetta!

PS: Questo problema l'ho visto sul Moser.

Propongo io un problema facile facile....


Calcolare la somma
$ S = 1 + (1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+....+2010) $


Non ci vuole molto.

questa cosa qui è
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{2010}{\frac{i(i+1)}{2}}=\frac{1}{2}\cdot (\sum_{i=1}^{2010} {i^2}+\sum_{i=1}^{2010} {i})= \frac{2010\cdot 2011\cdot 4021+3\cdot 2010\cdot 2011}{12}=1355454220 $

Esatto.......Abbiamo fatto lo stesso svolgimento

non credo ce ne siano moltissimi di modi

comunque posto un altro problema, io non lo ho risolto, sul forum non l'ho trovato (ma magari c'è)

dimostrare che per x,y interi positivi l'equazione $ \displaystyle 9^x-7^y=2 $ è verificata solo per $ (x,y)=(1,1) $

jordan ha scritto:Problema 55. a) Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2=3^y $.

b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.

Si trova in questo thread tipo 6-7 pagine fa e anche la soluzione c'è 6-7 pagine fa, scritta da kn (una delle dimostrazioni più toste che io abbia mai visto xD)
Comunque in teoria nella staffetta il nuovo problema lo posta chi risolve l'ultimo, quindi maioc

dario2994 ha scritto:

jordan ha scritto:Problema 55. a) Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2=3^y $.

b) Own. Trovare tutti gli $ (x,y) $ interi positivi tali che $ 7^x+2^x=3^y $.

Si trova in questo thread tipo 6-7 pagine fa e anche la soluzione c'è 6-7 pagine fa, scritta da kn (una delle dimostrazioni più toste che io abbia mai visto xD)
Comunque in teoria nella staffetta il nuovo problema lo posta chi risolve l'ultimo, quindi maioc

grazie di avermelo trovato, stavo cercando il thread ma non lo trovavo.
comunque si, scusate, non avevo seguito la cosa.

ok, non avendo idea di cosa postare metto un problema preso dalla finale della gara a squadre di quest'anno che io non sono riuscito a risolvere in modo decente, quindi spero che qualcuno trovi una bella soluzione:

Problema 69: trovare tutte le terne di interi positivi a,b,c tali che
$ \displaystyle a+b+c=2010 $
$ \displaystyle\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c=\frac 1{58} $

Qualcuno conosce una soluzione (intendo una terna)?

Non ho la soluzione quindi questo mio messaggio è potenzialmente inutile ma:
[mode probabile cazzate]
Ci avevo pensato un po' su, e gli unici fatterelli degni di nota sono:
- 29 divide (almeno) uno fra a,b,c
- $ \displaystyle\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c=\frac {ab+bc+ac}{abc}=\frac 1{58} $
Ora abbiamo il valore o qualche relazione riguardo a $ \displaystyle a+b+c $, $ \displaystyle ab+bc+ac $ e $ \displaystyle abc $ che mi ricordano tanto le relazioni tra radici di un polinomio di 3° grado...
[/mode probabile cazzate]

kn ha scritto:Qualcuno conosce una soluzione (intendo una terna)?

1740, 180, 90 ^^

(per tentativi...)

però qualcuno lo dimostri!!!

credo che tutto ciò sarà inutile...=D
non si sa mai se esistono formule sconosciute..xD

\displaystyle\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c=\frac {ab+bc+ac}{abc}=\frac 1{58}

abc/58=ab+bc+ac
ora cerco di cambiare forma al secondo fattore...
ab+bc+ac=
=(a+b+c)(a+b+ab/c+b+c+bc/a+a+c+ac/b)=
=(a+b+c)(2a+2b+2c+ab/c+bc/a+ac/b)=
=(a+b+c)[2(a+b+c)+ab/c+bc/a+ac/b)=
=2(2010)^2+2010(ab/c+bc/a+ac/b)

quindi
abc=58[2(2010)^2+2010(ab/c+bc/a+ac/b)]
e non so neanche se sia giusto..U_U

Riscrivo in modo tale che sia più chiaro:

$ \displaystyle\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c=\frac {ab+bc+ac}{abc}=\frac 1{58} abc/58=ab+bc+ac $
ora cerco di cambiare forma al secondo fattore...
$ ab+bc+ac= (a+b+c)(a+b+\frac{ab}{c}+b+c+\frac{bc}{a}+a+c+\frac{ac}{b})= (a+b+c)(2a+2b+2c+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b})= (a+b+c)[2(a+b+c)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b})= 2(2010)^2+2010(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}) $
quindi
$ abc=58[2(2010)^2+2010(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b})] $


Sembra che vada bene....

si ma credo sia del tutto inutile..=P