Non e' una scusante: io sono un astronomo
Tornando a noi (mi tocca fare un ennesimo post perche' qui si posta anche alle 2 e mezza di notte
)
$ $a=\frac{10-4\pm\sqrt{100-84}}{2} $, ergo serve che $ ~10^2-84=n^2 $, ovvero
$ ~10^2-n^2=(10-n)(10+n)=84=4\cdot21 $
Posto $ ~n>0 $ per simmetria wlog (=without loss of generality), si evince $ ~n<10 $; ergo $ ~0<10-n<10 $ e $ ~10<10+n<20 $
Quindi il 21 (numero dispari poiche' $ ~=2\cdot10+1 $) non puo' dividere uno dei 2 fattori tra parentesi, ergo deve essere un numero composto. Inoltre i 2 fattori in parentesi hanno la stessa parita' e, essendo il termine di dx un multiplo di 4, sono per forza entrambi pari, ergo n ha la stessa parita' di 10. E, altra cosa, i 2 fattori sono diversi, ergo 21 non puo' essere il quadrato di un primo.
quindi posto $ ~21=kl\quad k,l\neq1\;k\neq l $, abbiamo $ ~10-n=2k $ e $ ~10+n=2l $
Ora dato che $ ~21=2b+1 $ dobbiamo considerare tutte le basi $ ~b>8 $ (condizione necessaria per avere soluzioni) tali che $ ~2b+1 $ non sia primo e che sia scomponibile in $ ~k\cdot l. $ tale che $ ~0<b-n=2k<b<b+n=2l<2b $ e tali che $ ~2k+2l=2b $ ovvero $ ~k+l=b $, ovvero
Travare per quali interi $ ~b>8 $, l'equazione $ ~x^2-bx+2b+1=0 $ ammette 2 soluzioni intere
Notare che le due soluzioni sono $ $\begin{align}l\\ k \end{align}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4(2b+1)}}{2} $
Ora, riscrivendo l'equazione per a usando $ ~10=b $ e ricordando che $ ~100-84=n^2=(l-k)^2 $, si ha
$ $a=\frac{b-4\pm\sqrt{b^2-4(2b+1)}}{2}=\frac{k+l-4\pm(l-k)}{2}=\begin{align}l-2\\ k-2 \end{align} $
con, ricordo, $ ~21=kl\quad k,l\neq1\;k\neq l $ nel sistema metrico in base $ ~b $
Per concludere, si vede che per
$ ~b<10\quad\Rightarrow\quad l+k>b $
$ ~b>10\quad\Rightarrow\quad l+k<b $
ovvero $ ~10a+(a+1)=(a+2)(a+3) $ ha soluzioni intere solo in base 10
