Inviato: 01 gen 1970, 01:33
Ciao, Barozz! Ho letto il tuo commento alla soluzione da me proposta al tuo quesito e ci ho pensato... per quel che posso dirti, la strada da te indicata, sebbene (così mi è parso di capire!) ti abbia condotto (credo, accidentalmente!) alla soluzione corretta del problema, nel senso che il calcolo conseguente alla tua impostazione ti avrebbe effettivamente fornito (correggimi se sbaglio!) il valore esatto dell\'integrale di cui si discute, tuttavia non mi sembra praticabile, poiché (come tu stesso dichiari nel testo del tuo ultimo post) si fonda in buona sostanza sulla possibilità di eseguire un\'operazione di derivazione sotto il segno di integrale relativamente ad una certa funzione da te opportunamente introdotta. Bene, a questo proposito, vorrei dimostrarti che una siffatta operazione non è attuabile, o meglio non lo è in riferimento alla funzione derivanda che tu hai indicato! Per provartelo, mi permetto innanzitutto di ricordare a te e agli altri, qui poco oltre, la formulazione più generale del teorema di derivazione sotto il segno di integrale, che (come del resto non è difficile prevedere) trova la sua collocazione naturale nell\'ambito della teoria generale della misura e dell\'integrazione secondo Lebesgue (putroppo è così... mi tocca nuovamente tirare in ballo questa nostra vecchia conoscenza!). Adattato specificatamente al nostro caso, il teorema a cui mi riferisco si può enunciare così come di seguito riporto:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema</B><!-- BBCode End -->: (di derivazione sotto il segno di integrale)
<BR>Sia f(x,t) una funzione definita per quasi ogni x€X, essendo X un sottoinsieme di R non vuoto ed L-misurabile (eventualmente anche di misura infinita), e per ogni t€T, essendo T un aperto di R. Supponiamo che:
<BR>i) la funzione x ---> f(x,t) sia integrabile in X secondo Lebesgue, per ogni t€T;
<BR>ii) la funzione t ---> f(x,t) sia di classe C¹(T), ovvero continua e derivabile al primo ordine con continuità in T, per quasi ogni x€X.
<BR>iii) esistano 2 funzioni g<sub>0</sub>(x), g<sub>1</sub>(x) integrabili in X secondo Lebesgue tali che, per ogni t€T e per quasi ogni x€X:
<BR> a) |f(x,t)| ≤ |g<sub>0</sub>(x)|;
<BR> b) |∂f(x,t)/∂t| ≤ |g<sub>1</sub>(x)|.
<BR>Sotto queste ipotesi:
<BR>1) la funzione t ---> int_{X} f(x,t) dx è di classe C¹(T);
<BR>2) d(int_{X} f(x,t) dx)/dt = int_{X} ∂f(x,t)/∂t dx
<BR>
<BR>Ora, nel nostro caso, tu suggerisci di assumere f(x,t) := e^(-x^2 - t^2/x^2); inoltre, alla luce del calcolo che si vuole eseguire: X := [0,+∞], mentre T può porsi eguale all\'intervallo aperto ]0;2[, o anche ad ogni altro aperto di R contenente il punto t<sub>0</sub> = 1. Ora, f(x,t) è definita quasi per ogni x€X e nondimeno per ogni t€T. Inoltre, X è un sottoinsieme non vuoto di R misurabile secondo Lebesgue (in particolare, di misura monodimensionale infinita); infine, T è un aperto di R. Dunque, nel nostro caso, <!-- BBCode Start --><B>le condizioni <!-- BBCode Start --><I>generali</I><!-- BBCode End --> per poter applicare il teorema di derivazione sotto il segno di integrale sono certamente garantite</B><!-- BBCode End -->. Ma andiamo avanti!
<BR>La funzione x ---> f(x,t) è integrabile secondo Lebesgue in X, per ogni t€T, poiché f(x,t) è una funzione quasi ovunque positiva dei suoi argomenti (sono esclusi al più i punti ove essa non risulta, a priori, definita), e inoltre:
<BR>
<BR> p.o. t€T: f(x,t) ≤ e^(-x^2) (£)
<BR>
<BR>ove la funzione g<sub>0</sub>(x) := e^(-x^2) si riconosce immediata-mente essere integrabile in X secondo Lebesgue. Dunque, <!-- BBCode Start --><B>la funzione
<BR>x---> f(x,t) verifica l\'ipotesi (i) del teorema di derivazione</B><!-- BBCode End -->. Ma procediamo ancora oltre!
<BR>La funzione t ---> f(x,t) è di classe C¹(T) per quasi ogni x€X, in quanto, supposto x€X\\{0}, essa è composizione di funzioni definite, continue e derivabili con continuità infinite volte per ogni t€T. Dunque, pure <!-- BBCode Start --><B>l\'ipotesi
<BR>(ii) del teorema di derivazione è soddisfatta</B><!-- BBCode End -->, come del resto anche <!-- BBCode Start --><B>l\'ulteriore ipotesi (iii.a)</B><!-- BBCode End -->, coerentemente con la condizione espressa dalla (£) e le osservazioni promosse in precedenza sul conto della funzione g<sub>0</sub>(x) := e^(-x^2). Dunque, tutto sembrerebbe fin qui garantire l\'applicabilità del teorema di derivazione, se soltanto non fosse per il fatto di non potersi in alcun modo determinare una funzione g<sub>1</sub>(x) integrabile in X secondo Lebesgue tale che, per quasi ogni x€X e per ogni t€T, sia:
<BR>
<BR>|∂f(x,t)/∂t| = [2t*f(x,t)]/(x^2) ≤ |g<sub>1</sub>(x)|.
<BR>
<BR>il che si può anche dimostrare formalmente ragionando per assurdo o intuire sulla base di considerazioni puramente euristiche verificando che ogni sforzo di invenire una siffatta funzione alla fine si rivela (immancabilmente) un tentativo fallito! Conclusione: <!-- BBCode Start --><B>l\'ipotesi (iii.b) del teorema di derivazione non è mai verificata</B><!-- BBCode End -->, e di conseguenza il medesimo teorema non può essere giustificatamente applicato! Sorry...
<BR>
<BR>P.S.: aspetto impaziente tuoi commenti sul merito di queste mie osservazioni o di sapere se 6 riuscito a escogitare un qualche escamotage per aggirare l\'ostacolo che qui ho inteso evidenziarti. Non escludo difatti la possibilità che tu possa trovare, o abbia già trovato, una strada alternativa e magari più breve di quella ch\'io ho proposto: soltanto non è pensabile che essa si fondi sulle considerazioni di cui hai riferito nel tuo ultimo post sull\'argomento! Ciao, dunque... e a presto!
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<BR>
<BR>P.P.S.: sono cosciente dell\'eventualità che, a molti, il senso dei discorsi che ho sviluppato in questo mio intervento possa risultare per lo più oscuro. In tal caso, vi pregherei di sottolinearmi gli aspetti che, anche a un livello meramente intuitivo, non siete comunque riusciti ad afferrare: come già altrove ho avuto modo di ribadire, non può esservi vergogna nel riconoscere d\'ignorar qualcosa, soprattutto quando si tratti di questioni complesse che solo un corso di studi di livello avanzato potrebbe eventualmente chiarire! Ve lo chiedo come favore personale, poiché in questo modo mi eviterete di dover controbattere a chi (eventualmente) dovesse ripropormi le solite obiezioni sul fatto che questo sito non è la sede più adatta per far uso di concetti o strumenti così raffinati come, oggettivamente, l\'integrale di Lebesgue non manca d\'essere! Grazie!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 00:40 ]
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema</B><!-- BBCode End -->: (di derivazione sotto il segno di integrale)
<BR>Sia f(x,t) una funzione definita per quasi ogni x€X, essendo X un sottoinsieme di R non vuoto ed L-misurabile (eventualmente anche di misura infinita), e per ogni t€T, essendo T un aperto di R. Supponiamo che:
<BR>i) la funzione x ---> f(x,t) sia integrabile in X secondo Lebesgue, per ogni t€T;
<BR>ii) la funzione t ---> f(x,t) sia di classe C¹(T), ovvero continua e derivabile al primo ordine con continuità in T, per quasi ogni x€X.
<BR>iii) esistano 2 funzioni g<sub>0</sub>(x), g<sub>1</sub>(x) integrabili in X secondo Lebesgue tali che, per ogni t€T e per quasi ogni x€X:
<BR> a) |f(x,t)| ≤ |g<sub>0</sub>(x)|;
<BR> b) |∂f(x,t)/∂t| ≤ |g<sub>1</sub>(x)|.
<BR>Sotto queste ipotesi:
<BR>1) la funzione t ---> int_{X} f(x,t) dx è di classe C¹(T);
<BR>2) d(int_{X} f(x,t) dx)/dt = int_{X} ∂f(x,t)/∂t dx
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<BR>Ora, nel nostro caso, tu suggerisci di assumere f(x,t) := e^(-x^2 - t^2/x^2); inoltre, alla luce del calcolo che si vuole eseguire: X := [0,+∞], mentre T può porsi eguale all\'intervallo aperto ]0;2[, o anche ad ogni altro aperto di R contenente il punto t<sub>0</sub> = 1. Ora, f(x,t) è definita quasi per ogni x€X e nondimeno per ogni t€T. Inoltre, X è un sottoinsieme non vuoto di R misurabile secondo Lebesgue (in particolare, di misura monodimensionale infinita); infine, T è un aperto di R. Dunque, nel nostro caso, <!-- BBCode Start --><B>le condizioni <!-- BBCode Start --><I>generali</I><!-- BBCode End --> per poter applicare il teorema di derivazione sotto il segno di integrale sono certamente garantite</B><!-- BBCode End -->. Ma andiamo avanti!
<BR>La funzione x ---> f(x,t) è integrabile secondo Lebesgue in X, per ogni t€T, poiché f(x,t) è una funzione quasi ovunque positiva dei suoi argomenti (sono esclusi al più i punti ove essa non risulta, a priori, definita), e inoltre:
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<BR> p.o. t€T: f(x,t) ≤ e^(-x^2) (£)
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<BR>ove la funzione g<sub>0</sub>(x) := e^(-x^2) si riconosce immediata-mente essere integrabile in X secondo Lebesgue. Dunque, <!-- BBCode Start --><B>la funzione
<BR>x---> f(x,t) verifica l\'ipotesi (i) del teorema di derivazione</B><!-- BBCode End -->. Ma procediamo ancora oltre!
<BR>La funzione t ---> f(x,t) è di classe C¹(T) per quasi ogni x€X, in quanto, supposto x€X\\{0}, essa è composizione di funzioni definite, continue e derivabili con continuità infinite volte per ogni t€T. Dunque, pure <!-- BBCode Start --><B>l\'ipotesi
<BR>(ii) del teorema di derivazione è soddisfatta</B><!-- BBCode End -->, come del resto anche <!-- BBCode Start --><B>l\'ulteriore ipotesi (iii.a)</B><!-- BBCode End -->, coerentemente con la condizione espressa dalla (£) e le osservazioni promosse in precedenza sul conto della funzione g<sub>0</sub>(x) := e^(-x^2). Dunque, tutto sembrerebbe fin qui garantire l\'applicabilità del teorema di derivazione, se soltanto non fosse per il fatto di non potersi in alcun modo determinare una funzione g<sub>1</sub>(x) integrabile in X secondo Lebesgue tale che, per quasi ogni x€X e per ogni t€T, sia:
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<BR>|∂f(x,t)/∂t| = [2t*f(x,t)]/(x^2) ≤ |g<sub>1</sub>(x)|.
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<BR>il che si può anche dimostrare formalmente ragionando per assurdo o intuire sulla base di considerazioni puramente euristiche verificando che ogni sforzo di invenire una siffatta funzione alla fine si rivela (immancabilmente) un tentativo fallito! Conclusione: <!-- BBCode Start --><B>l\'ipotesi (iii.b) del teorema di derivazione non è mai verificata</B><!-- BBCode End -->, e di conseguenza il medesimo teorema non può essere giustificatamente applicato! Sorry...
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<BR>P.S.: aspetto impaziente tuoi commenti sul merito di queste mie osservazioni o di sapere se 6 riuscito a escogitare un qualche escamotage per aggirare l\'ostacolo che qui ho inteso evidenziarti. Non escludo difatti la possibilità che tu possa trovare, o abbia già trovato, una strada alternativa e magari più breve di quella ch\'io ho proposto: soltanto non è pensabile che essa si fondi sulle considerazioni di cui hai riferito nel tuo ultimo post sull\'argomento! Ciao, dunque... e a presto!
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
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<BR>P.P.S.: sono cosciente dell\'eventualità che, a molti, il senso dei discorsi che ho sviluppato in questo mio intervento possa risultare per lo più oscuro. In tal caso, vi pregherei di sottolinearmi gli aspetti che, anche a un livello meramente intuitivo, non siete comunque riusciti ad afferrare: come già altrove ho avuto modo di ribadire, non può esservi vergogna nel riconoscere d\'ignorar qualcosa, soprattutto quando si tratti di questioni complesse che solo un corso di studi di livello avanzato potrebbe eventualmente chiarire! Ve lo chiedo come favore personale, poiché in questo modo mi eviterete di dover controbattere a chi (eventualmente) dovesse ripropormi le solite obiezioni sul fatto che questo sito non è la sede più adatta per far uso di concetti o strumenti così raffinati come, oggettivamente, l\'integrale di Lebesgue non manca d\'essere! Grazie!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 00:40 ]