OliForum Matematico

Una domanda: nel punto a) del N8 basta esporre il controesempio senza i metodi usati per arrivarci, giusto?

Intanto il punto a) dell'N8 non ha controesempi chiede di determinare se esistono coppie che soddisfano una certa relazione. Al più ha esempi.
In ogni caso, ovviamente non serve dire "come ci arrivi", ma serve far vedere che i numeri che presenti sono effettivamente soluzioni della uguaglianza indicata. Il metodo più facile, quando i numeri non sono piccolini, è riprodurre il ragionamento che ti ha permesso di trovare quei numeri.

Nell'A4 del PreImo 2010 possiamo dare per scontato
$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}=\infty $
Grazie mille!

Ai tempi l'avevo dimostrato ma mi pare si potesse dare per scontato...

La dimostrazione (che pure è una riga: per $0<k\leq 2^{n-1}$, $1/(2^{n-1}+k)\geq 1/2^n$, quindi $\sum_n 1/n\geq \sum_n 2^{n-1}/2^n=\sum_n 1/2=+\infty$) non è richiesta. E comunque quella somma dovrebbe iniziare da $n=1$ .

Beh, se inizia da zero è ancora più infinita...

Allora, scusate ma forse c'è qualcosa che non mi torna: io ho appena fatto la terza e andrò in quarta, non ho mai partecipato ad uno stage di pisa.. ERGO devo fare il PreIMO singolo o di gruppo?

Ne ho fatti 3 del singolo e non vorrei che fosse solo tempo perso...

Potrebbe essere utile mettere un'appendice con i teoremi utilizzati tipo Cauchy-Schwartz, AM-GM, Piccolo teorema di Fermat ecc.? o è solo una perdita di tempo?
Grazie in anticipo

@davide.l:

Quali sono gli esercizi da svolgere? Dipende dall'esperienza olimpica e dall'anno di corso *aggiornati al 3 giugno 2013*:
per chi non ha *mai* partecipato ad uno stage a Pisa (Senior, PreIMO o Winter Camp), *e frequenta un anno di corso minore od uguale al terzo*, sono gli esercizi di algebra, combinatoria, geometria e teoria dei numeri assegnati come lavoro singolo al PreIMO *2010*.

Se all'alba del 3 giugno 2013 tu frequentavi il 3° anno di corso di una qualche scuola superiore e non eri ancora mai venuti a Pisa per uno stage (PreIMO, Senior, WinterCamp), allora devi fare i 16 esercizi del lavoro singolo del preIMO 2010.

@Commandline: finché sono teoremi che compaiono nel Senior Basic (puoi scorrere i pdf delle lezioni dello scorso anno per sincerartene), basta citarli correttamente, avendo cura di verificarne le ipotesi, come ho detto in un post precedente.

EvaristeG ha scritto: allora devi fare i 16 esercizi del lavoro singolo del preIMO 2010.

Grazie mille EvaristeG! meno male, quindi nel template di LaTeX devo scrivere che nell'a.s. 12/13 frequentavo il terzo anno di corso.
(meglio fare una domanda banale in più che una in meno, dopotutto.. )

ok grazie, scusa non avevo letto il post...

Scusate, avrei un' altra domanda riguardo (questa volta) all' esercizio C1 PreImo M...
Cosa si intende nel video con "tutti i numeri generati sono razionali positivi, questo va dimostrato per induzione...".
Non è semplicemente vero per le proprietà di campo dell' insieme $\mathbb{Q}$?
Cioè, dato un qualunque $\frac{m}{n}$ razionale con $m,n \in \mathbb{N}$, non è scontato che siano razionali anche $\frac{2m+n}{n}$ e $\frac{m}{m+2n}$?
Sono confuso, non saprei da dove cominciare per impostare l' induzione...

Mi aggiungo anch'io a rompere le scatole...
Per l' esercizio N6 si sfrutta il fatto che se 2 è un quadrato modulo p, allora $p\equiv \pm1\pmod8 $
Posso darlo per vero,o devo dimostrarlo?

@Lasker: non è vietato dare una diversa dimostrazione; la frase nel video credo voglia dire "questo va dimostrato. Ad esempio, per induzione" (e non che *devi* usare l'induzione). Se hai un argomento che funziona, usalo pure.

@auron95: visto che la dimostrazione è una riga (e stavolta è fatta tramite tecniche olimpiche!), direi che non costa nulla riportarla, no?

@EvaristeG grazie della disponibilità, il mio dubbio nasce dalla definizione "ingenua" di $\mathbb{Q}$ come "quella roba che ha dentro le frazioni" che mi hanno propinato a scuola...
Per me il fatto che otteniamo solo razionali dipende dal fatto che compaiono solo frazioni con numeratore e denominatore $\in \mathbb{N}$, ad esempio $\left(\frac{2m+n}{n}\right)$, oppure perché in un campo $\left(\mathbb{Q}\right)$ sono sempre possibili divisione, somma e moltiplicazione.
Non è che non voglio fare la dimostrazione per induzione, ma proprio non saprei come dimostrare rigorosamente il fatto... diciamo che pensavo fosse nella definizione di $\mathbb{Q}$