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SkZ ha scritto: Se una funzione in un punto diverge, tale punto non puo' essere di estremo.

quindi dobbiamo calcolare il limite in quel punto e vedere se la funzione diverge o meno?
se non diverge potrebbe essere o un estremo o un punto di sella... giusto?

In questo caso dovrei studiare questo limite
$ \displaystyle \lim_{x,y\rightarrow 0}f(x,y) $

Sosuke ha scritto:se non diverge potrebbe essere o un estremo o un punto di sella... giusto?

Se la funzione in un punto non diverge allora quel punto appartiene al dominio. Punto e basta.
Gli estremi di una funzioni appartengono al dominio.

forse è una domanda stupida... è solo per una mia semplice curiosità.... ma esistono punti di discontinuità eliminabili in una funzione a due o più variabili?

$ f(\rho,\theta)=\frac{\sin\rho}{\rho} $

Ve lo giuro mi sto incastrando malissimo con questi estremi relativi...

(

)

per esempio questa
$ ~ x^3-6xy+3y^2+3x $

al solito Hessiano uguale a zero...
come fate a capire cosa bisgona fare? come fate a capire se sostiuire $ ~ y=mx $ oppure porre più semplicemente $ ~ y=0 $ ?

1) la sostituzione (ovvero lo studio lungo un cammino) e' uno strategemma, una scorciatoia per determinare se non ci sono estremi (non aiuta a scoprire se c'e').
2) devi cercare quel cammino che ti permette di escludere la presenza di estremi

ponendo il cammino (o varieta' uno-dimensionale) y=0 cosa ottieni?

Se ho capito bene... questa funzione nel cammino y=0 non presenta estremi...
ponendo y=0 diventa una funzione a una variabile.. nel tuo caso $ f(x,0)= x^3+3x $ e questa funzione non ha estremi...

domanda:

Qual e' la condizione base necessaria e sufficiente affinche' un punto sia un estremo per una funzione?

che ci sia almeno un punto in cui la derivata prima si annulli?

no
vedi |x|

MdF ha scritto:Certo, occorre calcolare il determinante della matrice Hessiana. Però esso va calcolato nei punti che soddisfano il sistema formato dalle due derivate prime parziali, entrambe poste a zero. Questi sono, infatti, i punti di massimo/minimo/sella, a seconda dei casi.
Nel tuo caso hai:
$ $ 3x^2-3y=0 $ $
$ $ 3y^2-3x=0 $ $
Esse sono a sistema.
Troverai delle coppie $ $ (x,y) $ $ le quali sono due coordinate delle terne di valori che indicano i punti di massimo/minimo/sella.
Provo a risolvere:
$ $ y=x^2 $ $
$ $ 3x(x^3-1)=0 $ $
$ $ 3x(x-3)(x^2+x+1)=0 $ $
quindi avrai un $ $ x_1=0 $ $, un $ $ x_2=3 $ $ e un altro paio di valori di x che non so calcolarti. Poi ti cerchi le $ $ y $ $, e non è escluso siano 4 o più valori. Poi procedi a combinare tutte le x e le y tra loro, avrai quindi oltre 10 punti, forse 16, di preciso non so.
In ciascuno di questi punti, con le due coordinate che hai, ti calcoli il valore della matrice Hessiana (che tu hai ancora sotto forma di incognite). Se fosse maggiore di zero, calcoli pure la derivata seconda rispetto a x con le coordinate del punto in analisi, per capire se il punto è di massimo o minimo. Quindi procedi a calcolare la coordinata $ $ z $ $ del punto, per ottenere la terna $ $ P\equiv (x,y,z) $ $.
Il determinante generico nel tuo caso è:
$ $ H=(6x \cdot 6y) - (-3)^2 = 36xy - 9 $ $
(avevi sbagliato a riportare $ $ f''_{yy} $ $)
Per esempio, nei punti di ascissa $ $ x=0 $ $, $ $ H=-9 $ $ sempre, quindi tutti i punti con ascissa $ $ x=0 $ $ (e sono diversi) sono di sella. Non vado oltre perché sarebbe lunghissimo.

forse c'è un errore alla 11.ma riga... o no???

per scomporre il cubo a me vien fuori...x-1 e nn x-3..

si', gli era scappato un 3 di troppo

SkZ ha scritto:domanda:
Qual e' la condizione base necessaria e sufficiente affinche' un punto sia un estremo per una funzione?

Che il sistema delle derivate parziali prime si annulli è una condizione necessaria ma non sufficente se non mi sbaglio, quindi non saprei dirti

SkZ ha scritto:domanda:
Qual e' la condizione base necessaria e sufficiente affinche' un punto sia un estremo per una funzione?

risposta

Data una funzione f suriettiva $ X\mapsto Y $, un punto $ ~x\in X $ e' un punto di massimo/minimo per la funzione se, detto $ y=f(x)\in Y $ immagine di quel punto, esite un intorno di y in Y per cui y e' massimo/minimo

semplice, elegante e molto potente!

la suriettivita' di f non e' una perdita di generalita' dato che si ottine partendo da f $ X\mapsto Z $ e ponendo $ ~ Y=f(X)\subseteq Z $, ovvero eliminando quei punti che non sono immagine di punti di X tramite f

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