OliForum Matematico

ok, come mi è stato chiesto ho creato un topic solo per questo problema, ecco il link:
viewtopic.php?p=124670#124670

Se qualcuno vuole proporre il problema 20 faccia pure, altrimenti metto qualcos'altro io

Risolvere in R la seguente equazione:
$ \displaystyle 6^x+1=8^x-27^{x-1} $
Prego giustificare il risultato

ma esiste una soluzione senza derivate??

Sì, ponendo x=y+1 basta mostrare che $ \displaystyle~27^y+6\cdot 6^y+1\neq 8\cdot 8^y $ per $ \displaystyle~y\neq 0,1 $. Ma ciò segue dal fatto che
$ \displaystyle~\frac{1}{8}\cdot 27^y+\frac{6}{8}\cdot 6^y+\frac{1}{8}\cdot 1^y>\left(\frac{1}{8}\cdot 27+\frac{6}{8}\cdot 6+\frac{1}{8}\cdot 1\right)^y=8^y $ per $ \displaystyle~y<0\lor y>1 $ (Jensen su $ \displaystyle~f(t)=t^y $, convessa per questi valori di y) e che
$ \displaystyle~\frac{1}{8}\cdot 27^y+\frac{6}{8}\cdot 6^y+\frac{1}{8}\cdot 1^y<8^y $ per $ \displaystyle~0<y<1 $ (sempre Jensen su $ \displaystyle~f(t)=t^y $, concava stavolta).
Quindi $ \displaystyle~x=1\lor x=2 $

perdonatemi l'ineperienza, ma è lecito porre x=y+1 ? Io non lo avrei mai fatto, mi sarebbe sembrato di inventarmi un legame tra x e y

Nel testo è data solo x ... y la inventi tu, quindi è ovvio che deve avere un legame con x... E' semplicemente un "cambio di variabile" per evidenziare meglio una certa proprietà dell'espressione.

PS(@kn): Jensen=derivate...

nessuno ha più scritto niente... visto che la soluzione di kn è chiaramente corretta aspettiamo qualche giorno che prosegua la staffetta, altrimenti posso mettere qualcosa io per non farla morire

Problema 21. Sia $ \displaystyle~P(x)=(x+2x^2+\ldots+nx^n)^2=a_0+a_1x+\ldots+a_{2n}x^{2n} $. Mostrate che $ \displaystyle~a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2n}=\frac{n(n+1)(5n^{2}+5n+2)}{24} $.

Brucio il problema perchè ci tengo a fare lo sborone con le funzioni generatrici xD Tenterò di far capire tutti i passaggi.
Alur molti passaggi saranno intuitivi (ma vi assicuro veri) perchè non saprei motivarli formalmente.

Step 1: Calcoliamo $ $\sum_{i=0}^{2n}a_i $
Dato che in un prodotto tra polinomi la somma dei coefficienti iniziali è uguale al prodotto della somma dei coefficienti dei 2 polinomi quella roba vale:
$ $\left(\sum_{i=0}^ni\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $

Step 2: Valutiamo $ $\left(\sum_{i=0}^{\infty}x^i\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}b_ix^i\right) $ con $ $\{b_i\} $ una sequenza di reali (ma anche complessi va bene, alla fine va bene tutto purchè esista la somma...)
Assumiamo di svolgere l'infinito prodotto termine a termine... quali monomi avranno il termine $ $x^j $? Beh saranno questi: $ $1\cdot b_jx^j,\ x\cdot b_{j-1}x^{j-1}\dots x^{j-1}\cdot b_{1}x,\ x^j\cdot b_0 $
Ora compattiamo i monomi simili... il monomio $ $x^j $ avrà come coefficiente $ $\sum_{i=0}^jb_j $ quindi il prodotto iniziale equivale a:
$ $ \sum_{i=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^ib_i\right)x^i $


Step 3: Valutiamo $ $\sum_{i=0}^{\infty}x^i $
Vale questa serie di uguaglianze:
$ $\sum_{i=0}^{\infty}x^i-x\sum_{i=0}^{\infty}x^{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty}x^i-x^i=1 $
Ora divido ambo i membri per 1-x ottenendo: $ $\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} $

Step 4: Trovo la funzione generatrice di $ \{$\sum_{i=0}^na_i\} $
Ora considero $ $\left(x^{n+1}P(x)+\sum_{j=1}^nix^i\right)^2 $ con P(x) un polinomio. È chiaro che i coefficienti dei primi n+1 termini nello sviluppo di quella roba non cambiano al variare di P(x), perciò neppure la loro somma, che sarà uguale a $ $\sum_{i=0}^na_i $.
Da quanto ho analizzato se mi interessa solo la somma dei primi n+1 termini posso anche considerare il "quasi polinomio": $ $\left(\sum_{i=0}^{\infty} ix^i\right)^2 $.
Tento di esprimere decentemente il polinomio che elevo al quadrato... lo chiamo P(x).
Vale questa serie di uguaglianze:
$ $P(x)-xP(x)=\sum_{i=1}^{\infty}ix^i-(i-1)x^i=-1+\sum_{i=0}^{\infty}x^i=-1+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{1-x} $***
L'ultima identità deriva dallo step 2.
Ora divido *** per 1-x ottenendo: $ $P(x)=\frac{x}{(1-x)^2} $
Perciò a me interessa la somma dei primi n+1 coefficienti dell'espressione polinomiale di $ $x^2\left(\frac{1}{1-x}\right)^4 $. A questo punto viene in aiuto lo step 2 che dice che se moltiplico per $ $\sum_{i=0}^{\infty}x^i $ ottengo una roba che ha come coefficiente n-esimo proprio la somma dei primi n+1 che cercavo. Quindi sfrutto Step 3 e al posto di moltiplicare per quel cosone brutto moltiplico per $ \frac{1}{1-x} $ ottenendo da trovare il coefficiente n-esimo di
$ $x^2\left(\frac{1}{1-x}\right)^5 $
(quest'ultima si dice funzione generatrice della sequenza perchè ha la sequenza come coefficienti).

Step 5: Calcoliamo $ $\sum_{i=0}^na_i $
Ora che ho la funzione generatrice devo fare il passaggio inverso, trovarmi i coefficienti... che fare? Prima di tutto tolgo quell'$ $x^2 $ e al posto di trovare il coef n-esimo trovo quello n-2esimo di (sostituisco usando lo step 3):
$ $\left(\sum_{i=0}^{\infty}x^i\right)^5 $
Faccio finta di sviluppare anche questo... devo solo contare i monomi che escono di grado n-2 tanto hanno tutti coef 1. Ma quanti sono... beh se ci si pensa si può fare una biezione tra le quintuple di interi non negativi (a,b,c,d,e) con somma n-2 e quei monomi... quindi restano da contare ste quintuple. Beh qui si passa all'elementare e alla combinatoria, quindi non serve che spiego perchè quelle quintuple sono esattamente $ ${n+2\choose 4} $ che è proprio la somma dei primi n coefficienti della roba espressa dal testo.

Step 6: Conclusione
Vale ovviamente
$ $\sum_{j=n+1}^{2n}a_j=\sum_{j=0}^{2n}a_i-\sum_{k=0}^na_k $
In quest'ultima sostituisco quanto ottenuto nello step 1 e 5 da cui la somma richiesta dal testo equivale a:
$ $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2-{n+2\choose 4}=\frac{n(n+1)}{4}\left(n(n+1)-\frac{(n+2)(n-1)}{6}\right)=\frac{n(n+1)(5n^2+5n+2)}{24} $

Dopo tutto sto papocchio faccio una precisazione: c'è una soluzione più "corta" e elementare che consiste nel contare la somma di a_1+a_2+...a_n a manina con una sommatoria di sommatoria, partendo dal testo... è molto più contoso di quello che ho mostrato io. Inoltre se si ha un po di conoscenza delle funzioni generatrici questa soluzione viene in 3 minuti (per scriverla però c'ho messo 3 ore xD).

dario2994 ha scritto:Dopo tutto sto papocchio faccio una precisazione: c'è una soluzione più "corta" e elementare che consiste nel contare la somma di a_1+a_2+...a_n a manina con una sommatoria di sommatoria, partendo dal testo... è molto più contoso di quello che ho mostrato io. Inoltre se si ha un po di conoscenza delle funzioni generatrici questa soluzione viene in 3 minuti (per scriverla però c'ho messo 3 ore xD).

Già, io non sapendo una mazza di funzioni generatrici avevo intrapreso questa strada e confermo che in fondo ci si arriva, ma dopo 20 minuti di calcoli non propriamente simpatici

Corretta formula - HarryPotter

Problema 22
Siano $ x_1,x_2,x_3\dots ,x_n $ numeri reali dimostrare:
$ \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^ia_j^2}<\sqrt{n} $

dario2994 ha scritto:Problema 22
Siano $ $x_1,x_2,x_3\dots ,x_n $ numeri reali dimostrare:
$ \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{1+\sum_{j=1}^ia_j^2}<\sqrt{n} $

L'ho riscritta perchè c'era qualche lettera di troppo nella formula che non ne permetteva la lettura.

Se elevo alla seconda la disuguaglianza e uso C-S ... non funziona
Allora suppongo gli $a_1$ positivi perché i denominatori delle frazioni non cambia ma da negativa diventa positiva e quindi rimane vera la disequazione.
Analogamente, notato che il denominatore è crescente, posso supporre gli la serie $a_i$ decrescente.

E poi...boh

Ecco la mia dimostrazione:
Per prima cosa faccio questa sostituzione :$b_i:=1+\sum_{j=1}^{i} a_j^2$
E la disuguaglianza diventa: $\frac{±\sqrt{b_1-1}}{b_1}+\frac{±\sqrt{b_2-b_1}}{b_2}+...+\frac{±\sqrt{b_n-b_{n-1}}}{b_n}<\sqrt{n}$
Ora noto che tutti i $b_i$ sono crescenti e maggiori o uguali a 1. Adesso faccio un Cauchy Schwartz:
$\frac{±\sqrt{b_1-1}}{b_1}+\frac{±\sqrt{b_2-b_1}}{b_2}+...+\frac{±\sqrt{b_n-b_{n-1}}}{b_n}\leq \sqrt{(b_n-1)(\frac{1}{b_1^2}+...+\frac{1}{b_n^2})}$ e quindi mi resta da dimostrare che $(b_n-1)(\frac{1}{b_1^2}+...+\frac{1}{b_n^2})<n$
Dopo aver provato tutte le disuguaglianze dell'universo mi sono accorto che basta una semplice induzione:
-PASSO BASE: OK ($\frac{1}{b_1}\leq n$ in quanto $b_1\geq 1$)
-PASSO INDUTTIVO: suppongo che $(b_n-1)(\frac{1}{b_1^2}+...+\frac{1}{b_n^2})\leq n$. Allora, aggiungendo un $b_{n+1}$ ho 2 casi: o è minore o uguale a $b_n$ e va bene, o è maggiore e funziona a maggior ragione, dunque la condizione è soddisfatta per ogni n.
Infine resta da dimostrare quel minore stretto; posso motivarlo dicendo che $(b_n-1)(\frac{1}{b_1^2}+...+\frac{1}{b_n^2}= n)$ Solo quando i $b_i$ sono tutti uguali e guardando la C-S uguagliando tutti i rapporti tra i termini: così facendo ottengo 0 e quindi è fatta.

p.s. Perchè non riesco a fare le parentesi con \right e \left?

Non mi torna questa disequazione: $(b_n-1)(\frac{1}{b_1^2}+...+\frac{1}{b_n^2})\leq n$
Infatti se prendo $n=2$ e $b_1=2, \; b_2=10^{10}$ (posso farlo) mi viene che $(10^{10}-1)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{10^{20}}\right)<2$ che mi sembra abbastanza falso .
Non ho capito l'induzione, ma credo che non funzioni...
(Io riesco a usare \left e \right )