Simbolo di Legendre + Reciprocità quadratica
Inviato: 15 gen 2008, 22:47
Dal mio orale di strutture algebriche:
Definiamo, per ogni primo dispari:
$ \displaystyle \left( \frac ap \right) = 0,+1, -1 $
rispettivamente a seconda che $ p|a $, se esiste $ r $ con $ (r,p)=1 $ tale che $ r^2 \equiv a \pmod{p} $ (cioè se $ a $ è residuo quadratico), oppure i restanti casi ($ a $ non è residuo quadratico).
(i) Dimostrare che $ \left( \frac ap \right) \equiv a^{\frac {p-1}2 } \pmod{p} $.
(ii) Dimostrare che $ \left( \frac 2p \right) = (-1) ^{ \frac {p^2-1}8} $. L'hint è: che c'entra $ \sqrt {2} $ con $ 8 $ in $ \mathbb{C} $...
(iii)*(non chiestomi all'orale, deduzione postuma) con un metodo simile dimostrare la legge di reciprocità quadratica cioè :
$ \left( \frac qp \right) \left( \frac pq \right) = (-1)^ { \frac { (p-1)(q-1) }4 } $
(iv)* vorrei fare la stessa cosa con la reciprocità cubica cioè mi servirebbe, ad esempio, $ \sqrt[3]{2} $. Dimostrare che non lo posso fare allo stesso modo di prima
Definiamo, per ogni primo dispari:
$ \displaystyle \left( \frac ap \right) = 0,+1, -1 $
rispettivamente a seconda che $ p|a $, se esiste $ r $ con $ (r,p)=1 $ tale che $ r^2 \equiv a \pmod{p} $ (cioè se $ a $ è residuo quadratico), oppure i restanti casi ($ a $ non è residuo quadratico).
(i) Dimostrare che $ \left( \frac ap \right) \equiv a^{\frac {p-1}2 } \pmod{p} $.
(ii) Dimostrare che $ \left( \frac 2p \right) = (-1) ^{ \frac {p^2-1}8} $. L'hint è: che c'entra $ \sqrt {2} $ con $ 8 $ in $ \mathbb{C} $...
(iii)*(non chiestomi all'orale, deduzione postuma) con un metodo simile dimostrare la legge di reciprocità quadratica cioè :
$ \left( \frac qp \right) \left( \frac pq \right) = (-1)^ { \frac { (p-1)(q-1) }4 } $
(iv)* vorrei fare la stessa cosa con la reciprocità cubica cioè mi servirebbe, ad esempio, $ \sqrt[3]{2} $. Dimostrare che non lo posso fare allo stesso modo di prima