OliForum Matematico

Provare che, dati $ a,b,p $ interi, con $ p $ primo si ha:

$ \displaystyle (a+b)^p\equiv a^p+b^p \pmod p $

Rivolto soprattutto ai nuovi che son comparsi sul forum. Per chi ha un pò di esperienza, è abbastanza banale.

Si tratta di dimostrare che i coefficenti binomiali indice diverso da 0 o p(che è la stessa cosa)sono multipli di p.
$ p!/(p-k)!k! \equiv 0 \pmod p $ Ora semplice osservazione:Se k diverso da p o 0,p-k è minore di p,e k minore di p;dunque non v'è nessun intero tra i fattori del fattoriale che divide p,il risultato però è intero ,quindi..la congruenza è vera
forse ancora più veloce $ (a+b)^p \equiv {a+b} \pmod p $ e $ a^p +b^p \equiv {a+b} \pmod p $ dunque ...la tesi

Ora si può dimostrare per induzione che $ x^p \equiv x \pmod{p } $ se $ p $ è un numero primo...

Si è vero!: $ 1^p \equiv 1 \pmod p $ vero
$ n^p \equiv n \pmod p $
$ (n+1)^p \equiv {n^p+1^p} \pmod p $ mettendo assieme $ (n+1)^p \equiv {n+1} \pmod p $

Lo diceva anche un simpatico signore...

Ma chi è sto Freshman poi?
Un po' di rispetto per Frobenius! Almeno lui ha una pagina di wikipedia dedicata!

E ditelo che si chiama Frobenius, che ne sapevo io

Però la spiegazione era ganza, uffa. Praticamente deriva dal fatto che i freshmen, se si intende con freshman qualcosa tipo novizio sbagliano nel calcolare le potenze. Uffa eh!

EUCLA ha scritto:E ditelo che si chiama Frobenius, che ne sapevo io

Però la spiegazione era ganza, uffa. Praticamente deriva dal fatto che i freshmen, se si intende con freshman qualcosa tipo novizio sbagliano nel calcolare le potenze. Uffa eh!

cioè tu ti aspettavi da qualcuno qualcosa del tipo $ (a+b)^p=a^p+b^p $ ?
bè sarebbe stato divertente o forse no
edit:solo ora leggo il titolo bene....

Beh, l'ho postato semplicemente perchè conoscevo questa congruenza, ma solo oggi ho visto questo nome, e mi è sembrato divertente

Freshman è come gli inglesi dicono "matricola" nel senso degli studenti iscritti al primo anno di università, ed effettivamente ho visto indicare identità $ \ (a+b)^p=a^p+b^p $ col nome e l'etimologia proposte da EUCLA ma sempre in fonti di lingua inglese.
Io ho sempre chiamato, colloquialmente, quell'identità "il binomiale assassino".
Quanto a Frobenius, la mappa $ \ x\mapsto x^p $ o qualche sua variante è chiamata, nell'opportuno contesto di teoria dei numeri, "omomorfismo di Frobenius".

[OT]
Sapete, esiste anche una disuguaglianza carina di Frobenius (anche se solo il mio prof sembra chiamarla così!), ma è algebra lineare quindi non matematica olimpica.
[\OT]

[OT] esiste anche un "teorema della matricola", però anche quella è algebra lineare, e quindi non matematica olimpica [/OT]

LOL per il nome dell'identità dato da EUCLA, che non avevo minimamanete capito, e al binomiale assassino