OliForum Matematico

Ciao a tutti.
Ho un problema con questo esercizio:
Un velivolo spaziale, di massa m0 = 103 kg, e viaggiante a velocità costante
v = 103 m/s per modificare la propria direzione del moto emette lentamente in direzione ortogonale una massa complessiva mg = 50 kg di gas con una velocità relativa vrel = 104 m/s. Determinare l'angolo di cui sarà variata la traiettoria del velivolo.

La mia soluzione è questa:
La velocità di 103m/s rimane costante.
La velocità ortogonale la trovo con la formula Mdv/dt=VreldM/dt ed è 513m/s
la tangente dell'angolo tra la vecchia direzione e la nuova è: tg(a)=513/103
Applicando l'arcotangente trovo l'angolo desiderato, che è 27.16°

E' giusta come soluzione?

eoghan ha scritto:Ciao a tutti.
.....
Applicando l'arcotangente trovo l'angolo desiderato, che è 27.16°

E' giusta come soluzione?

Non mi sembra, anche se c'è del buono nel tuo ragionamento.
Devi considerare che la massa del razzo si riduce gradualmente durante la manovra.
Così dovresti verificare che il risultato è 38.44° (salvo errori di calcolo).


PS: Per risolvere il problema un integraletto credo sia necessario.

Secondo me è da considerare solamente la conservazione della quantità di moto...
Facendoci il disegnino del vettore della quantità di moto iniziale del veivolo $ P_i $ che si scompone nel vettore del gas $ P_g $ e in quello finale del veivolo $ P_f $ vediamo come l'angolo cercato è dato da $ \arctan(\frac{\left | P_g \right |}{\left | P_i \right |}) $ che da un valore di $ 63,89° $. ovviamente essendo la velocità del gas ortogonale a quella del veivolo, non cambierà per il sistema di riferimento.

Visto che dicono tutti la loro... ci provo anche io.
Per la conservazione della quantità di moto sull'asse radiale otteniamo, detto $ d \alpha $ l'angolo di deviazione causato dall'emissione della massa $ dM $ otteniamo

$ dM \cos(d \alpha) \cdot 104 - (M-dM) \cdot \sin(d \alpha)*103=0 $.
Trascurando il termine $ dM \cdot d \alpha $ che è prodotto di infinitesimi si ha $ \frac{dM}{M}=\frac{103}{104} tan( d \alpha) $
Siccome $ d \alpha $ è piccolo approssimo $ tan (d \alpha)=d \alpha $ e ho $ \frac{dM}{M}=\frac{103}{104}d \alpha $.

Integro da entrambi i lati (a sx da 103 a 53, a dx da 0 ad alpha finale) e ho $ -\log(\frac{53}{103})=\frac{103}{104} \alpha $, da cui infine $ \alpha \approx -38.439° $

Attendiamo conferme.

darkcrystal ha scritto: .........
Attendiamo conferme.

la mia l'avevo data preliminarmente

darkcrystal ha scritto: Integro da entrambi i lati (a sx da 103 a 53, a dx da 0 ad alpha finale) e ho $ -\log(\frac{53}{103})=\frac{103}{104} \alpha $, da cui infine $ \alpha \approx -38.439° $

Il risultato è corretto però c'è un piccolo errore di scrittura.

Se ho:

$ \displaystyle \frac{dM}{M}=\frac{103}{104}d \alpha $

Integrando ambo i membri secondo i limiti, avrò:

$ \displaystyle \int^{53}_{103}{\frac{dM}{M}}=\int^\alpha_0{\frac{103}{104}d \alpha} $

Che calcolata dà:

$ \displaystyle -\log(\frac{103}{53})=\frac{103}{104} \alpha $

E non:

$ \displaystyle -\log(\frac{53}{103})=\frac{103}{104} \alpha $

Comunque, complimenti per la soluzione!

Ciao!