OliForum Matematico

$ x_1,...,x_n $ reali positivi tali che:

$ \frac{1}{x_1+1998}+...+\frac{1}{x_n+1998} = \frac{1}{1998} $

Dimostrare che:

$ \frac{(x_1 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}}{n-1} \geq 1998 $

(Scusate ma i 1998 mi complicano la vita, e scusate anche le formule enormi... ma non sono riuscito ad evitarle) A meno di semplici sostituzioni, la disuguaglianza è equivalente a quella con ipotesi $ \displaystyle \sum \frac{1}{x_i+1}=1 $ e tesi $ \displaystyle \frac{\displaystyle \left(\prod x_i \right) ^ {\frac{1}{n}}}{n-1} \geq 1 $
Bene. Posto $ y_i=\frac{1}{x_i+1} $ abbiamo subito $ \sum y_i =1 $ e $ x_i=\frac{1-y_i}{y_i}=\frac{\displaystyle \sum_{j \neq i} y_j}{y_i}\geq \frac{\displaystyle (n-1) \left(\prod_{j \neq i} y_j\right)^{\frac{1}{n-1}} }{y_i} $$ =\frac{\displaystyle (n-1) \left(\prod_{j } y_j\right)^{\frac{1}{n-1}} }{\displaystyle y_i^{\frac{n}{n-1}}} $ per AM-GM

Perciò $ \prod x_i \geq (n-1)^n \cdot \left( \prod y_i^{\frac{1}{n-1}} \right) ^n \cdot \frac{1}{\prod \left(y_i^{\frac{n}{n-1}} \right) }=(n-1)^n $, che è sostanzialmente la tesi.

Ciao!