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$ \displaystyle x $ è un numero reale e $ \displaystyle x^n-x $ è un numero intero per $ \displaystyle n=2 $ e per un altro valore $ \displaystyle n>2 $. Mostrare che $ \displaystyle x $ deve essere un intero.

mi viene in mente di scrivere X come una frazione per vedere cosa succede...
$ $x^n - x =k $ con $ $k $ intero
$ $\frac{a^n}{b^n} - \frac{a}{b} =k $ con $ $a $ e $ $b $ coprimi
$ $a(a^{n-1}-b^{n-1}) = kb^n $ siccome $ $b $ è coprimo con $ $a $ allora è $ $k $che è divisibile per $ $a $
$ $a(a^{n-1}-b^{n-1}) = ak'b^n $ tolgo $ $a $ da entrambi i membri
$ $a^{n-1}-b^{n-1} = k'b^n $ assurdo in quanto $ $a $ e $ $b $ sono coprimi fra di loro
però così, ammesso che sia giusta, ho dimostrato solo che $ $x $ non può essere espresso sotto forma di una frazione...

Per completezza, questo problema compare nell'edizione del 1998 dell IrMO, Irish Mathematical Olympiad. Problemino alquanto articolato per essere olimpionico...

Bello sto problema
Credo di averlo fatto ma devo imparare ad usare il $ \LaTeX $ prima di postarlo.

Ps: ma mi posso trovare problemi simili a febbraio?

Allora ci provo. Spero che qlcn abbia la bontà di leggerlo, ed eventualmente, correggerlo.
Abbiamo $ \displaystyle x^2=x+n $ e $ \displaystyle x^n=x+m $ con m, n>1 (altrimenti abbiamo casi piuttosto banali) interi.
$ \displaystyle x^n=x^2\cdot x^{n-2}=(x+n) x^{n-2}=x^{n-1}+n\cdot x^{n-2}= $$ \displaystyle (x+n) x^{n-3}+n\cdot x^{n-2}= $$ (n+1)x^{n-2}+n \cdot x^{n-3} $
Ora abbiamo un polinomio a coefficienti interi positivi e con il coefficiente del termine di grado più alto >1 e questo polinomio è $ \displaystyle =x^n $ . Diciamo che il grado del polinomio sia $ k\geq 2 $.
Allora abbiamo $ \displaystyle x^n=ax^k +bx^{k-1}+ P(x)=a(x+n)x^{k-2}+ $$ \displaystyle bx^{k-1}+ P(x)=(a+b)x^{k-1}+Q(x) $ dove P(x) e Q(x) sono polinomi a coefficienti interi e positivi e a, b sono interi. Con questo trasformazione anche il polinomio a cui arriviamo (intendo $ \displaystyle (a+b)x^{k-1}+Q(x) $ e un polinomio a coefficienti interi positivi e con il coefficiente del termine di grado più alto >1) ma il grado è minore di quello di partenza. Quindi se la ripetiamo tante volte arriviamo a un polinomio del primo grado del tipo : $ \displaystyle ax+b $. Quindi $ \displaystyle ax+b=x^n=x+m $, cioè $ \displaystyle x=\frac{m-b}{a-1} $. Ma quindi x è un razionale e per quanto ha detto il buon mod_2 è impossibile (ma in realtà basta notare che x è una radice di $ \displaystyle x^2-x-n=0 $ quindi se è un razionale il suo denominatore divide 1, perciò deve essere un intero).

Che ne pensate?

PubTusi ha scritto:Allora ci provo. Spero che qlcn abbia la bontà di leggerlo, ed eventualmente, correggerlo.
Abbiamo $ \displaystyle x^2=x+n $ e $ \displaystyle x^n=x+m $ con m, n>1 (altrimenti abbiamo casi piuttosto banali) interi.
$ \displaystyle x^2\cdot x^{n-2}=(x+n) x^{n-2} $

non ho capito questo passaggio perche è vera quell uguaglianza?

alexba91 ha scritto:

PubTusi ha scritto:Allora ci provo. Spero che qlcn abbia la bontà di leggerlo, ed eventualmente, correggerlo.
Abbiamo $ \displaystyle x^2=x+n $ e $ \displaystyle x^n=x+m $ con m, n>1 (altrimenti abbiamo casi piuttosto banali) interi.
$ \displaystyle x^2\cdot x^{n-2}=(x+n) x^{n-2} $

non ho capito questo passaggio perche è vera quell uguaglianza?

Quella di sotto intendi? Ho sostituito $ x+n $ a $ x^2 $ visto che vale $ x^2=x+n $

PubTusi ha scritto:

alexba91 ha scritto:

PubTusi ha scritto:Allora ci provo. Spero che qlcn abbia la bontà di leggerlo, ed eventualmente, correggerlo.
Abbiamo $ \displaystyle x^2=x+n $ e $ \displaystyle x^n=x+m $ con m, n>1 (altrimenti abbiamo casi piuttosto banali) interi.
$ \displaystyle x^2\cdot x^{n-2}=(x+n) x^{n-2} $

non ho capito questo passaggio perche è vera quell uguaglianza?

Quella di sotto intendi? Ho sostituito $ x+n $ a $ x^2 $ visto che vale $ x^2=x+n $

sisi , non avevo letto la prima parte.
a quest ora non connetto piu.

PubTusi ha scritto:Abbiamo $ \displaystyle x^2=x+n $ e $ \displaystyle x^n=x+m $ con m, n>1 (altrimenti abbiamo casi piuttosto banali) interi.

Uhm, questo già perderebbe punti, devi spiegare che stai usando l'ipotesi $ x\in\mathbb R $ (e, per favore, non chiamare cose diverse con lo stesso nome, n è il grado del secondo polinomio o il termine noto del primo???)

PubTusi ha scritto:$ \displaystyle ax+b=x+m $, quindi x è un razionale

Forse mi sono perso qualcosa, ma il succo del tuo ragionamento mi sembra questo: so che, per un dato valore di x, $ x^2=x+n $ e $ x^k=x+m $. Cosa faccio? Posso porre $ x^k=(x^2-x-n)Q(x)+R(x) $ (divisione con resto tra polinomi), dove R(x) è un polinomio di primo grado. Tu dici: pongo $ R(x)=ax+b $ e, siccome $ x^k=x+m $ e $ x^k=ax+b $, ottengo $ x+m=ax+b $, quindi x è razionale.

Il ragionamento fila tranne l'ultimo passaggio. Potrebbe infatti darsi che $ a=1 $ e $ b=m $, e a quel punto non sapremmo nulla su x...

Comunque boh, se riesci a dimostrare che $ a\neq 1 $ hai finito.

Quasi dimenticavo: bello l'avatar

Hai ragione! Che idiota sono! Ho fatto un casino completamente inutile, come dici tu viene 100 volte molto più bello!!

Provo a riscrivere...

$ \displaystyle x^2-x-n=0 $. Come correttamente dici dall'alto della tua saggezza ,
$ x\in\mathbb R $ quindi $ 4n+1\geq 0 $ e poichè $ n\in\mathbb N $, $ n\geq=0 $. Se n=0 le radici sono 0 e 1 entrambe intere. Quindi $ n\geq 1 $.

Ora, il fatto che $ a\neq 1 $ credo di averlo dimostrato nel casino li sopra, ma provare a farlo in un altro modo male non farà, anzi magari mi aiuta a prepararmi per la gara dell'11 febbraio .

Provo con una specie di induzione. Il passo base è k=3.
$ x^3=(x^2-x-n)(x+1)+(n+1)x+n $ Quindi poichè n>0 il nostro a risulta >1.

Ora suppongo vero per k che il coefficiente di primo grado del resto è >1 e lo faccio per k+1. Supponiamo quindi $ x^k=(x^2-x-n)Q(x)+ax+b $ con a>1 e b>0.
Allora $ x^{k+1}=(x^2-x-n)Q(x) x+ax^2+bx= $$ (x^2-x-n)(Q(x)x+a)+(a+b)x+an $
Quindi anche il nostro "nuovo" a risulta >1 e il "nuovo b risulta >0.

Spero di non aver sbagliato di nuovo
Qualcuno me la controlla, per piacere?

Quasi dimenticavo: bella la firma

cough cough ... per favore ... politically correct, ok?
E cmq la firma di piever non è, credo, di così banale interpretazione ... o no?

EvaristeG ha scritto:cough cough ... per favore ... politically correct, ok?
E cmq la firma di piever non è, credo, di così banale interpretazione ... o no?

ok ok, scusami EvaristeG, come al solito faccio solo casino, mi autocensuro

Uhm, stavolta mi sembra torni, ma visto il rigore consueto delle mie dimostrazioni non fidarti troppo...

Io lo avevo fatto in maniera leggermente diverso, ma comunque mi veniva fuori una successione per ricorrenza dai due termini precedenti, decisamente crescente che avrebbe dovuto fare 1 a un certo punto...

Per quanto riguarda la mia firma, non so quale fosse stato il tuo primo commento, ma probabilmente avevi frainteso il suo profondo ( ) significato...

ciauciau

Qui una soluzione un po' piu corta (a dir la verità stavo per postarlo questo esercizio quando ho visto che geda mi aveva preceduto )