OliForum Matematico

qualche giorno fa a un incontro a roma avevano dimostrato una formula che permetteva,
conoscendo le formule di tutte le sommatorie dei gradi inferiori, di ricavare la formula per il grado successivo.
qualcuno la conosce o si ricorda la sua dimostrazione?

Lui ha fatto l'esempio di come trovare $ S_{2}=1^2+2^2+3^2+...+n^2 $
Poi la cosa dovrebbe essere generalizzabile con il binomio di Newton.

Prendi l'identità
$ (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 $
Valgono però anche
$ n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 $
$ (n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)^2+1 $
.....
$ 2^3-1^3=3\cdot1^2+3\cdot1+1 $
Sommando membro a membro ottieni
$ (n+1)^3-1^3=3\sum\limits_{i=1}^n i^2+3\sum\limits_{i=1}^n i+n $
Ora, se si conosce la somma dei primi n termini (esponente 1), ti ricavi la somma dei quadrati in forma chiusa.

Ciao.

grazie.