OliForum Matematico

Salve a tutti,sto annegando in un bicchier d'acqua? Non so, però ve lo propongo lo stesso.

Abbiamo $ f : \mathbb{R} -> \mathbb{R} $ e $ \phi_n : [a,b] -> \mathbb{R} $ una successione di funzioni continue.
E' vero che se $ \phi_n $ converge uniformemente in [a,b] a $ \phi $ allora $ f( \phi_n ) $ converge uniformemente a $ f( \phi ) $ ?
( so solo che f è continua e non ad esempio che è lipschitziana...dovrei trovare un controesempio ma forse non è cosi ovvio)

chiamo la successioni di funzioni pn e il limite p..dunque dalla continuità di f sai che per ogni €>0 esiste d>0 con |f(x)-f(y)|<€ se |x-y|<d ora per n abbastanza grande hai che |pn(x)-p(x)|<d q questo per ogni x..allora scelto tale n e componendo ottieni che |f(pn(x))-f(p(x))|<€ per ogni x e quindi hai la convergenza uniforme

alberto86 ha scritto:dunque dalla continuità di f sai che per ogni €>0 esiste d>0 con |f(x)-f(y)|<€ se |x-y|<d

Questo non è proprio verissimo...

va bè per ogni €>0 e x fissato hai tale d>0 e te la giochi su y..scegli x come p(x)..

Hmm ... alberto86, per come lo dici .. direi di no
guarda, prendiamo delle $ \phi_n $ buone e gentili:
$ \phi_n(x)=\left(\dfrac{1}n+1\right)x $
e $ f(x)=e^x $
Allora $ f(\phi_n(x))=e^xe^{x/n} $
e dunque la convergenza non è mai uniforme, infatti $ |e^x-e^xe^{x/n}|=|e^x(1-e^{x/n})|\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty $
Eppure, quel che dici dovrebbe riapplicarsi, no?

Uhm ma immagino che anche $ f( \phi_n ( \cdot ) ) $ siano a dominio in $ \left[ a,b \right] $ e quindi funziona...

Ma non dico che sia sbagliato il punto di partenza, dico che manca qualcosa nella dimostrazione, così com'è scritta... il dominio di f(g(x)) è ovviamente contenuto nel dominio di g .... ma in quello che dice alberto86 non compare una sola volta una parola che risolverebbe tutto.

E' corretto il ragionamento di EvaristeG, c'è solo da puntualizzare che essendo [a,b] chiuso e f continua, allora f è uniformemente continua.