OliForum Matematico

è giusto questa cosa che ho scritto oppure ho preso una cantonata?

$ $\prod_{i=0}^{n}aq^i=aq^{n!}$ $

molto probabilmente ho scritto una cosa molto ovvia però come vedete le mie qualità in matematica sono molto limitate...
grazie...

dovrebbe essere così:

$ $\prod_{i=0}^{n}aq^i= aq^0 \cdot aq^1 \cdot aq^2 \cdot \ldots \cdot aq^{n-1} \cdot aq^n = a^{n+1}q^{\frac{n(n+1)}{2}}$ $

correggimi se sbaglio (ho notato un errore in quello che ho scritto prima)

$ $\prod_{i=0}^{n}aq^i$ $

$ $a\prod_{i=0}^{n}q^i$ $

$ $a*(q^0*q^1*q^2...*q^n)$ $

$ $a*(1+q^{n!})$ $

$ $\prod_{i=0}^{n}aq^i=a*(1+q^{n!})$ $

giusto?

ho capito l'errore...
dovrebbe essere
$ $a*(1+q^{\frac{n(n+1)}{2}})$ $

Non puoi portare a fuori dalla produttoria. Questo perché $ ab\cdot ac $ non è $ abc $ in genere... il risultato giusto è quello di Gabriel, che conta a n+1 volte.

perchè non posso?

Perchè no dovrebbe essere una risposta sufficiente.
Ora,
$ \displaystyle{\prod_{i=0}^n aq^i}=(aq^ 0\cdot aq^1\cdot aq^2\cdot\ldots\cdot aq^n)} $
quindi fa esattamente, come detto, $ a^{n+1}q^{n(n+1)/2} $.
Se non ci credi, prendi a=2, q=3, n=4 e fatti il conto.

EDIT: corretto il LaTeX. ma_go

Il portare fuori roba da una sommatoria è possibile, perchè è in realtà un raccoglimento a fattore comune...
Ma qui hai una produttoria, quindi non puoi!... e il controesempio di pic dovrebbe bastarti!...

Si può portare fuori una costante elevandola al numero di termini della produttoria:

$ \displaystyle \prod_{i=0}^{n}aq^i=a^{(n+1)}\prod_{i=0}^{n}q^i $

Questo perchè ci sono tanti fattori uguali alla costante quanti sono i termini della produttoria.

Ciao!