Soluzione:
Ho cambiato un po' di lettere, aggiunto altre, e tolto B e C che non centravano niente. Spero si capisca comunque.
La prima osservazione è che:
- $ ~ AP_1P_2P $, $ ~ AQ_1Q_2Q $ sono ciclici e simili (una simmetria + omotetia manda uno nell'altro)
Da questo segue ad esempio che $ ~ \angle AP_1P_2 = \angle AQ_1Q_2 $ e quindi $ ~ P_1P_2Q_1Q_2 $ è ciclico.
Definisco M come punto medio di PQ, K come intersezione di $ ~ P_1Q_1, P_2Q_2 $.
Possiamo vedere che M sta sia sull'asse di $ ~ P_1Q_2 $ che di $ ~ P_2Q_1 $, quindi M è il centro di $ ~ P_1Q_1P_2Q_2 $.
Ah, la tesi: la tesi è equivalente a P,Q,K allineati.
Fin qui abbiamo scherzato, ora vengono le cose serie. Chiamo $ ~ K_1,K_2 $ le proiezioni di K sulle due rette per A.
È facile vedere che $ ~ K_1KP_1, K_2KP_2 $ sono simili, e quindi: $ ~ \frac{K_1P_1}{K_2P_2} = \frac {KP_1}{KP_2} = \frac{P_1Q_2}{P_2Q_1} $ (per similitudine di $ ~ P_1KQ_2, P_2KQ_1 $).
Ora, in sintesi, abbiamo che:
$ \displaystyle \frac{K_1P_1}{K_2P_2} = \frac {P_1Q_2}{P_2Q_1} $
Questo
implica che K,Q,P sono allineati. Vediamo come. Chiamiamo $ ~ K', K'' $ rispettivamente le intersezioni di $ ~ KK_1. KK_2 $ con $ ~ QP $, e vediamo che dividono il segmento PQ nelle stesse proporzioni. Quindi K = K' = K'' e stanno tutti sulla retta PQ.
Ribadisco, bel problema Gabriel!!
