OliForum Matematico

Sia $ n $ un intero positivo fissato.

Quanto fa: $ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\sin{nx}}{(1+2^x)\sin x}}dx $ ?

molto simpatico

Può essere che questo integrale sia equivalente a (notare gli estremi di integrazione),

$ \displaystyle \int_0^\pi\frac{\sin(nx)}{\sin x}dx $? e che valga 0 per n pari e $ \displaystyle \pi $ per n dispari?

puo essere ma almeno un accenno a come lo fai..

jordan ha scritto:puo essere ma almeno un accenno a come lo fai..

$ \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx=\int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx-\int_0^{-\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx $. Ora nel secondo integrale pongo $ x=-y\to dx=-dy $, quindi

$ \int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx+\int_0^{\pi}\frac{-\sin ny}{-(1+2^{-y})\sin y}dy $, cioè $ \int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx+\int_0^{\pi}\frac{2^y\sin ny}{(1+2^{y})\sin y}dy $.

Ora, ripassando a x come variabile di integrazione,

$ \int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx+\int_0^{\pi}\frac{2^x\sin nx}{(1+2^{x})\sin x}dx $$ =\int_0^{\pi}\frac{(1+2^x)\sin nx}{(1+2^{x})\sin x}dx $, cioe appunto $ \int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{\sin x}dx $.

La parte bella ora è finita poiché questo integrale non lo so risolvere, ma so che vale $ 0 $ per n pari e $ \pi $ per n dispari.

prova per...induzione?

jordan ha scritto:prova per...induzione?

Si, infatti ci avevo pensato. L'ho fatto ma è un pò lungo, soprattutto a trascriverlo con il latex. Carino però l'esercizio

geda ha scritto:Ora, ripassando a x come variabile di integrazione,

Premesso che le mie attuali conoscenze di calcolo integrale non sono eccelse e che la stanchezza mi può tradire, ma non ho del tutto compreso come procedi qui. Sei passato da $ \displaystyle \int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx+\int_0^{\pi}\frac{2^y\sin ny}{(1+2^{y})\sin y}dy $ (e fin qui ti posso seguire) a $ \displaystyle\int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{(1+2^x)\sin x}dx+\int_0^{\pi}\frac{2^x\sin nx}{(1+2^{x})\sin x}dx $, e non mi spiego come: in origine avevamo posto x=-y e mi sembra che scambiare una variabile con l'altra in maniera diretta non sia possibile (e d'altra parte mettendo -x al posto di y il secondo integrale a primo membro si ritrasforma in uno dei due integrali che avevamo subito prima di introdurre la y nel problema, sicché saremmo punto e a capo). Questo mi sembra il punto critico del problema, ma forse è proprio solo il sonno... vi prego di perdonarmi per eventuali eresie.

Buonanotte a tutti e grazie per ogni eventuale contributo.
Oblomov

Il secondo non è un "ritorno" alla variabile x secondo la relazione con la variabile y definita prima, è semplicemente un cambio di notazione, per semplificare