OliForum Matematico

Allora...
Finalmente agli inizi dello studio in tdn...

Vorrei chiedere pareri su due cose...

Della prima sono abbastanza sicuro, questo è un lemma di una dimostrazione che ho provato a fare e mi piacerebbe sapere se è lecito.

Vogliamo dimostrare che se un numero divide due numeri successivi, questo numero deve essere 1.
Inanzitutto i numeri sono naturali.

Pertanto
$ \dispaystyle a|n $ e $ \dispaystyle a|n+1 $ implica $ \dispaystyle a=1 $

$ \dispaystyle n=ax $
$ \dispaystyle n+1=ay -> n=ay-1 $

$ \dispaystyle ax=ay-1 $
$ \dispaystyle ay-ax=1 $
$ \dispaystyle a(y-x)=1 $

Pertanto $ \dispaystyle a $ e $ \dispaystyle y-x $ devono essere multipli di 1...
Quindi i multipli di uno sono: 1
pertanto otteniamo
$ \dispaystyle a=1 $ (e ci siamo)
$ \dispaystyle y-x=1 $
$ \dispaystyle y=x+1 $

Sostituendo l'ultima nell'equazione che abbiamo scritto prima
$ \dispaystyle \\ ax=ay-1 \\ ax=(x+1)a-1 \\ ax=ax+a-1 \\ a=1 $ (e ci risiamo)

Allora...questa l'ho fatta io, ma in tdn anche le cose più ovvie non lo sono...
Quindi...bho magari ho sbagliato...

E poi questo dubbio è un pò più serio...
Si vuole dimostrare che esiste un unico modo per scomporre un numero (naturale) in prodotto di numeri primi.

Bè il mio testo dà una dimostrazione e poi afferma egli stesso che è tale dimostrazione non è poi così tanto rigorosa.
Diciamo che riassunta sarebbe:
Per assurdo
$ \dispaystyle n=pqr $
$ \dispaystyle n=p_1 q_1 r_1 $
siano $ \dispaystyle p $ diverso da $ \dispaystyle p_1 $ $ \dispaystyle q $ diverso da $ \dispaystyle q_1 $ e $ \dispaystyle r $ diverso da $ \dispaystyle r_1 $
poniamo $ \dispaystyle p $come il numero più piccolo tra $ \dispaystyle p,q,r $
poniamo $ \dispaystyle p_1 $ come il numero più piccolo tra $ \dispaystyle p_1,q_1,r_1 $
prendiamo coscienza del fatto che
$ \dispaystyle \\ n>p^2 \\ n>p_1^2 $
pertanto
$ \dispaystyle n>pp_1 $ (questo lo potete capire pensando anche ad AM-GM)

peranto si avrà che
$ \dispaystyle n-pp_1 $ sarà un numero naturale
Sappiamo che n è divisibile per $ \dispaystyle p $ e per $ \dispaystyle p_1 $
Poi certamente $ \dispaystyle pp_1 $ è divisibile per $ \dispaystyle p $ e $ \dispaystyle p_1 $
Pertanto
$ \dispaystyle n-pp_1=pp_1QR $
dove Q e R sono numeri naturali...
sviluppando
$ \dispaystyle \\ n=pp_1+pp_1QR \\ n=pp_1(1+QR) $
pertanto deduciamo che
$ \dispaystyle pp_1|n $
prendendo una delle due definizioni iniziali di n
$ \dispaystyle n=pqr $
applichiamo quello che abbiamo scoperto su n
$ \dispaystyle \\ \frac{n}{pp_1}= \frac{pqr}{pp_1} \\ \\ \frac{n}{pp_1}= \frac{qr}{p_1} $
ma sappiamo già che$ \dispaystyle \frac{n}{pp_1} $ è intero pertanto deduciamo che
$ \dispaystyle p_1|qr $
ma ciò implicherebbe che
$ \dispaystyle p_1|q $ oppure $ \dispaystyle p_1|r $
Entrambe affermazioni paradossali dato che q ed r sono primi.
Fine della dimostrazione...


Questa è la dimostrazione, ma non mi convince affatto...
Noi sapevamo dall'inizio che $ \dispaystyle p|n $ e $ \dispaystyle p_1|n $
Non potevamo fare un salto e affermare che anche $ \dispaystyle pp_1|n $?
Con questa affermazione si arriva direttamente al passaggio finale...
E comunque sia anche se fosse possibile continuerebbe a non convincermi...
Se qualcuno ha una dimostrazione migliore...posti pure...

che libro stai utilizzando??

alexba91 ha scritto:che libro stai utilizzando??

the higher aritmetic di daveport...

A parte che prima si dovrebbe dimostrare anche l'esistenza della fattorizzazione in primi (chi ci dice che non ci sia un numero non primo che non si possa scrivere come prodotto di primi?)
L'idea sembrerebbe funzionare ma è fatta male perchè con l'assurdo non è che dimostri molte cose...potrebbe essere che i primi non siano tutti diversi oppure che non siano lo stesso numero di fattori (ok stiamo facendo i pignoli, ma almeno su un teorema cosi fondamentale!) Diciamo che andrebbe fatta + in generale...

Sherlock ha scritto:A parte che prima si dovrebbe dimostrare anche l'esistenza della fattorizzazione in primi (chi ci dice che non ci sia un numero non primo che non si possa scrivere come prodotto di primi?)
L'idea sembrerebbe funzionare ma è fatta male perchè con l'assurdo non è che dimostri molte cose...potrebbe essere che i primi non siano tutti diversi oppure che non siano lo stesso numero di fattori (ok stiamo facendo i pignoli, ma almeno su un teorema cosi fondamentale!) Diciamo che andrebbe fatta + in generale...

ok...
Allora..mi hai detto che bisognerebbe dimostrare che tutti i numeri possono scriversi come prodotto di primi...
non c'è una dimostrazione, ma è questione di definizione: se un numero non può scriversi come prodotto di numeri primi...bè è un numero primo

Poi per il secondo punto...
Se i primi non sono tutti diversi vuol dire che si può riscrivere come
$ \dispaystyle n=p^2 r $
nel caso p=q
ma in tal caso basterebbe dividere entrambi i membri per p...
Se non sono lo stesso numero di fattori...
Bè ma noi stiamo ragionando per assurdo...quindi siamo noi che lo supponiamo...
Diciamo che in linea di massima possiamo sempre ricondurci a quella situazione...
E' il resto che non mi convince...
Il motivo per cui non poso fare il "salto"

E comunque visto che lo hai accennato diciamolo apertamente...
Questo non è altro che il teorema fondamentale dell'aritmetica

L'esistenza la si può dimostrare con una costruzione di tipo induttivo, in base alla definizione di un primo.

Per quanto riguarda l'unicità, una volta supposto $ n=pqr $, $ n=p_1q_1r_1 \rightarrow pqr=p_1q_1r_1 $.
Posso dire che $ p\vert p_1q_1r_1 $ cioè parlando di primi, $ p $ divide uno tra i tre.
Allora, sempre per il fatto che sono primi $ p $ è uguale a uno dei tre. E da questo se ne consegue che sono uguali due a due.
[Si assume ovviamente che il numero dei fattori sia uguale in entrambe le scomposizioni.]


Per il primo, non basterebbe dire che, poichè $ (n, n+1)=1 \Rightarrow a=1 $?

angus89 ha scritto: Quindi i multipli di uno sono: 1

Ehi Angus, guarda che a me risulta che anche 872 è multiplo di 1

angus89 ha scritto: Questa è la dimostrazione, ma non mi convince affatto...
Noi sapevamo dall'inizio che $ \dispaystyle p|n $ e $ \dispaystyle p_1|n $
Non potevamo fare un salto e affermare che anche $ \dispaystyle pp_1|n $?
Con questa affermazione si arriva direttamente al passaggio finale...
.

Dimostrare qualcosa con qualcosa che ne deriva a me non sembra una buona abitudine anche se si potrebbe dimostrare tante belle cose così, tipo il 5 postulato di Euclide... provaci

angus89 ha scritto: Allora..mi hai detto che bisognerebbe dimostrare che tutti i numeri possono scriversi come prodotto di primi...
non c'è una dimostrazione, ma è questione di definizione: se un numero non può scriversi come prodotto di numeri primi...bè è un numero primo

assolutamente no,

lavoro con quello che dici tu:


Diciamo che 1 non può scriversi come prodotto di primi allora è primo, ma se è primo 1= 1x1 e soprattutto mi sa che ti cade la seconda dimostrazione mooooolto facilmente, allora supponiamo che 1 non sia primo quali sono i suoi divisori primi? di sicuro non è 1 stesso perchè 1 non è primo ma non può essere nessun altro, quindi...aiutooo!!!


Morale della favola la definizione di primo è un'altra:

Un elemento non invertibile si dice primo se dal fatto che divide un prodotto segue che divide almeno uno dei fattori.
O se vuoi nei numeri naturali si può dare anche un'altra definizione e cioè che un numero si dice primo se i suoi divisori sono solo 1 e il numero stesso.


Cmq per numero di fattori intendevo quello che faceva notare eucla e cioè che nulla ci dice che un primo non può scriversi come prodotto di 3 primi e contemporaneamente di 4 primi. Ad esempio se 1 fosse un primo come dicevamo prima
6 = 2x3
6 = 1x2x3



@Eucla al punto in cui è arrivato il libro non può certo utilizzare quello che dici tu, è più facile che utilizzi l'algoritmo euclideo secondo me...

allora...subito subito per PubTusi...non volevo scrivere multiplo di divisore...non sò come mi è venuto...
Carina anche la dimostrazione di eucla...cortissima ma efficace..spero sia giusta...
Sempre per PubTusi...
forse ho capito quello che mi vuoi dire...mi sà che ho capito perchè non mi convinceva la dimostrazione...
E comunque sinceramente non mi piace l'ironia...
Magari è meglio non ridere sugli errori altrrui...
e poi ho detto che ho appena cominciato...

Per Sherlock...ora leggo cosa hai scritto...mi sembrava doveroso rispondere subito a PubTusi

ok...letto quello che ha scritto Sherlock...

Bè immaginovo avresti utilizzato l'1...
Allora...
Quello che dici è giusto....

D'altronde...non basta una semplice definizione?
Definiamo 1 un numero non primo.
Gli altri numeri sono primi se e solo se non sono divisibili per nessun numero tranne se stessi e uno.

Questa affermazione la giriamo e diciamo che ogni numero che non può scriversi come prodotto di più numeri (esclusi 1 e il numero stesso) è primo.

Da qui segue che ogni numero può esprimersi come prodotto di più numeri(i suoi divisori)...se non ha divisori è primo...

angus89 ha scritto: Questa affermazione la giriamo e diciamo che ogni numero che non può scriversi come prodotto di più numeri (esclusi 1 e il numero stesso) è primo.

Da qui segue che ogni numero può esprimersi come prodotto di più numeri(i suoi divisori)...se non ha divisori è primo...

Si ma noi non volevamo sapere che era prodotto di numeri, ma prodotto di primi capirai che non è che ci voglia ora molto ma non è la definizione quella che vogliamo noi ma una cosa che deriva facilmente da essa

Comunque il mio problema è che ho problemi miei e tento a scrivere quello chemi passa per la mente senza pensarci Infatti quello che dici tu è vero per i numeri naturali mentre in realtà è falso in generale, e io stavo dandoti la vera definizione di "elemento primo", mentre quella che viene data di solito è la definizione di "elemento irriducibile" che in N è equivalente...solo che cosi mi becco un avvertimento da evariste per matematica non olimpica Comunque prova a dimostrare adesso l'esistenza della scomposizione come consigliava eucla

Uh, l'argomento mi pare interessante, quindi metto bocca anch'io...

Allora, i primi sono elementi non invertibili tali che se p|ab allora p|a oppure p|b.

Gli irriducili sono (apparte, a loro detta, i tifosi della lazio) gli elementi non invertibili che non possono essere "ridotti" (cioè se scrivo $ irriducibile=ab $, allora uno tra a e b è un elemento invertibile)
Cosa segue da queste definizioni?

1) banale: i primi sono irriducibili.

2) banale: ogni elemento è fattorizzabile in irriducibili.

3) meno banale: negli anelli in cui esiste una divisione con resto sensata gli irriducibili sono primi. Sia p un irriducibile. Supponiamo p|ab, ma $ p\nmid a $ e $ p\nmid b $ Evidentemente (a,p)=1 e (b,p)=1 (essendo p un irriducibile l'unico elemento non invertibile che lo divide è se stesso), quindi per bezout esistono k,j,r,q tali che jp+1=ka e rp+1=qb, da cui p|ab|(jp+1)(rp+1), quindi p|1, cioè p è invertibile, assurdo.

(piccola aggiunta: questo è il motivo per cui negli interi generalmente si definiscono primi gli elementi non unitari divisibili solo per 1 e per se stessi)

Quindi ora negli interi abbiamo la fattorizzazione in primi. Il fatto che sia unica è a questo punto abbastanza banale...


ciaociao

piever ha scritto: 3) meno banale: negli anelli in cui esiste una divisione con resto sensata gli irriducibili sono primi.

Non solo, ma lasciamo perdere ... non è argomento da tdn.