OliForum Matematico

Un esercizio istruttivo che mostra tante tecniche:
trovare tutti gli interi positivi n tali che, per qualche intero m, si ha
$ \displaystyle 2^n-1 \mid m^2 + 9 $

credo sia una delle diofantee piu belle che abbia mai visto, complimenti edriv

comunque un suggerimento in bianco:

2^{2^k}+1 | m^2+9 ,ma non per tutti i k

good work

Oddio sono proprio un po’ stupidina, ma non capisco xkè 2^2^k+1 | m^2 +9 solo per alcuni k

p|2^2^k+1==> p==1 mod 4
(-9/p)==(-1/p)==(-1)^(p-1/2)==1

Uffi non ci arrivo proprio!!!

mi potete spiegare voi cervelloni cosa sbaglio??


kiss u

Non capisco neanche io cosa vuol dire jordan

jordan, magari qualcuno lo risolve e vuole avere tutta l'immensa gloria che ne deriva, senza che sia scalfita da un hint, sappiamo che tu lo sai fare!

scusa allora...

Poi se non lo risolve nessuno vuol dire che un hint era proprio necessario... solo il Tempo saprà dire chi di noi due ha ragione

Lol, va bene che è un problema vecchio, ma fa piacere sapere che anche i matematici non più giovanissimi si tengono aggiornati...

Eh, ma ormai l'ha risolto già monica
Ora non c'è più gloria per nessuno

ehi, ma questa monica scride in un modo familiare?
sei nuova del forum?

Vedi qui.

Ci provo...Allora..il problema era$ 2^n-1|m^2+9 $
Per n=1 allora ogni m va bene
per n=2 va bene ogni m multiplo di 3

Inoltre se

$ 2^n-1|m^2+9,p|2^n-1\implies p\equiv 3\pmod 4, m^2\equiv -9\pmod p,\implies \frac{m^2}{9}^4\equiv 1\pmod p $

Ma però, dato che p è primo, la sua phi è congrua a 2 modulo 4, e l'ordine moltiplicativo non la divide. Quindi, se questi passaggi sono giusti, non va bene nessuna n e nessuna m. L'unico punto(credo e spero) che potrebbe non essere vero è $ m^2\equiv -9\pmod p\implies \frac{m^2}{9}^4\equiv 0\pmod p $. Infatti se $ p|m^2 $ (2)oppure $ p|9 $(1) non è vera la relazione. Se n è pari allora la (1) è realizzata. Vediamo cosa succede se fosse vero il caso (2):
$ pk_1|pk+9 $. Allora $ p|9 $ e si torna al caso (1).
Quindi per ora posso solo dire che (se non ho sbagliato) COME MINIMO n deve essere pari.

n=2a:$ (2^a+1)(2^a-1)|m^2+9 $. A questo punto $ 2^a-1|m^2+9 $ Per lo stesso identico ragionamento di prima a deve essere pari. E se pongo a =2l concluderei di nuovo che l deve essere pari.
Quindi posso dire che (ancora se non ho sbagliato) come minimo $ n=2^b $

Il problema diventa quindi $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $. Inoltre, se esiste un b tale che $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $, allora $ (2^{2^{b-1}}+1)(2^{2^{b-1}}-1)|m^2+9 $. Quindi se tale relazione è vera per b=12345 allora è vera per ogni b<12345...

Argh, non riesco a chiudere!!! ci penserò su..

Reginald ha scritto:Il problema diventa quindi $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $. Inoltre, se esiste un b tale che $ 2^{2^b}-1|m^2+9 $, allora $ (2^{2^{b-1}}+1)(2^{2^{b-1}}-1)|m^2+9 $. Quindi se tale relazione è vera per b=12345 allora è vera per ogni b<12345...

Argh, non riesco a chiudere!!! ci penserò su..

Di solito è al contrario che funziona..
Se fino a b funziona (i.e. $ 2^{2^b}-1 \mid m_0^2+9 $) allora esiste $ m_1 $ tale che $ 2^{2^{b+1}}-1 \mid m_1^2+9 $. Nota che $ 2^{2^b}+1 \mid (3\cdot 2^{2^{b-1}})^2+9 $. Ora ti sarebbe sufficiente che $ m_1 \equiv 3\cdot 2^{2^{b-1}} \pmod{2^{2^b}+1} $ e $ m_1 \equiv m_0 \pmod{2^{2^b}-1} $, cinesino!

Uhm... ma qui mi sorge un dubbio...
Edriv ha postato questo problema nel 2008... ed un problema praticamente uguale è stato dato al BST 2009 Dovevano stare più attenti. Comunque per la cronaca ecco la versione BST del problema:

Determinare tutti gli interi positivi n per cui esiste un intero positivo m tale che
$ $\frac{4^n-1}{3}|49m^2 + 1 $