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Quanto vale la pressione a una distanza $ \displaystyle r $ dal centro di una sfera omogenea di raggio $ \displaystyle R $ e densità $ \displaystyle \rho $ in equilibrio idrostatico?

Si intende la pressione generata dalla forza di gravità del liquido (si supponga, cioè, di essere lontano dalla Terra).

Dunque... per l'equilibrio idrostatico si deve avere $ \displaystyle dp=- \rho g(r) dr $, dove $ g(r) $denota l'accelerazione di gravità a distanza r dal centro.
Si trova facilmente $ \displaystyle g(r)=\frac{GMm}{mr^2}=\frac{G\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2}=\frac{4 \pi G \rho r}{3} $. Sostituendo nell'equilibrio ottengo perciò $ \displaystyle dp= - \frac{4}{3} G \pi\rho^2 r dr $, che dopo integrazione fornisce $ \displaystyle p(r)=p(0)-\frac{2\pi G \rho^2 r^2}{3} $

Work in progress su come determinare la pressione in almeno un punto per trovare la costante... qualcuno potrebbe controllare fin qui?

Ciao!

Io l'ho fatto così...

Considero un cubetto di lato differenziale $ ds $ posto a unia distanza $ r $ dal centro (se vogliamo, la distanza dal centro è intesa dal lato inferiore del cubetto). La pressione sul lato inferiore del cubetto è generata dalla somma delle pressioni esercitate da tutti i cubetti (di lato $ ds $) che stanno disposti superiormente e radialmente rispetto a quello iniziale (quello a distanza r).

La pressione esercitata da ogni cubetto è data da $ \displaystyle \frac{G \rho ds^3 4 r^3 \pi \rho }{3r^2 ds^2}=\frac{4 G \rho^2 \pi r ds}{3} $.
Integro da r ad R e ottengo semplificando e raggruppando un po':

$ \displaystyle p=\frac{\pi 2 G \rho^2 (R^2-r^2)}{3} $

Non vorrei dire cavolate, però ho provato a farlo e a me viene che

$ \displaystyle p(r)=\frac{\pi G \rho^2(R^4/r^2-r^2)}{3} $

Però mi sembra abbastanza intuitivo che a raggio R la pressione debba essere zero, perchè la pressione è data dal peso di quello che ti sta sopra, e sopra a quelli che stanno alla superficie non c'è niente! (speriamo di averci azzeccato!)

Inoltre al centro intuitivamente la pressione dovrebbe essere infinita, in quanto un coso di superficie zero dovrebbe sopportare un certo peso...

Il procedimento che ho usato per calcolare la pressione è appunto vedere quanto "pesa" la parte di sfera che sta sopra a una certa distanza r e dividere questo peso per la superficie a distanza r

è intuitivo che al centro di un pallone da calcio la pressione sia infinita? c'è qualcosa che non torna...

Secondo me il ragionamento invece torna, alla fine è come dire che un cono perfetto di un certo materiale, se appoggiato per il vertice, crea una pressione infinita nel punto di contatto.
Teoricamente è giusto, ma in realtà non succede.
La stessa cosa nella sfera, teoricamente il peso di un certo settore viene sopportato solo dalla sua proiezione radiale verso il centro, ma in realtà in vicinanza del centro le cose si allontanano dalla proiezione teorica.

Non so...io rimango della mia idea. Se qualcun altro vuole dire la sua lo ascolto volentieri.

A memedesimo chiederei di postare il procedimento per vedere se mi torna un po' di più....Se poi sono io ad avere sbagliato mi piacerebbe sapere dove...

Grazie... Ciao!

....vedere la cosa come tanti cubettini uno sull'altro o come gusci è la stessa cosa,..

Ho provato a farlo anche coi gusci e mi viene di nuovo come il mio di prima.

Aspetto...

Confermo che la mia soluzione era sbagliata, non avevo considerato che una struttura può "autosostenersi"!
Confermo anche che la soluzione giusta è quella scritta precedentemente!

Ciao!

Mattia