OliForum Matematico

Buon giorno a tutti, ho un problema, mi servirebbe trovare un link per scaricare le soluzioni della fase provinciale della gara a squadre degli anni passati, a, provincia di Trento, grazie

Questa è la home page del professore che si occupa della cosa
http://alpha.science.unitn.it/~vigna/;
ti suggerisco di chiedere a lui per ulteriori informazioni.

mi interesserebbero le soluzioni estese delle gare a squadre dei nazionali, qualcuno mi sa dire dove posso trovarle?

Penso che non esistano... almeno, mi pare che non ci siano delle soluzioni ufficiali.

Poi invece magari qualcuno le ha scritte.

ah...potevano mettercele..e allora..ne metto uno soltanto qui...

Problema 5,Semifinale B,Cesenatico 2005
I 2005 partecipanti ad un torneo di basket vogliono dividersi in 401 squadre, di 5 giocatori ognuna, per
giocare ad un torneo. Scrivere le ultime 2 cifre del numero di modi diversi in cui possono dividersi.

visto che è un problema olimpico, credo sia cosa buona se lo metti nell'apposita sezione

no aspetta...è sulla sezione delle gare a squadre...mi sembra superfluo aprire un altro 3d

Cassa ha scritto:ah...potevano mettercele..e allora..ne metto uno soltanto qui...

Problema 5,Semifinale B,Cesenatico 2005
I 2005 partecipanti ad un torneo di basket vogliono dividersi in 401 squadre, di 5 giocatori ognuna, per
giocare ad un torneo. Scrivere le ultime 2 cifre del numero di modi diversi in cui possono dividersi.

Intanto si può trovare una formula per il numero di modi.
Se sai come si conta, in generale, il numero di anagrammi di una data parola, può venirti in mente questo ragionamento.
Supponiamo di avere un elenco con tutti i nomi dei partecipanti. Vicino ad ognuno vogliamo scrivere una coppia (a,b): a è il numero della squadra (da 1 a 401), b il ruolo (un numero da 1 a 5). Un qualsiasi modo di ordinare tutte queste 2005 coppie è un'assegnazione a ciascun giocatore di squadra e ruolo. E questo si fa in $ ~ 2005! $ modi ovviamente. Però i ruoli non ci interessano: all'interno di ogni permutazione, se riordiniamo in ciascuna squadra l'assegnazione persone-ruoli (che si va in $ ~ 5!^{401} $ modi), otteniamo una disposizione "a meno di ruoli".
Però, tolto l'ordinamento dei ruoli in ciascuna squadra, è rimasto l'ordinamento stesso delle squadre: a noi interessa "quali persone stanno nella stessa squadra", non "quali persone stanno nella squadra A". Quindi dobbiamo dividere anche per tutti i modi di riordinare le squadre, $ ~ 401! $.

Il numero cercato allora è:
$ \displaystyle \frac{2005!}{5!^{401}401!} $, che è intero (visto da solo però non è banale capire che è intero...).
Si vede facilmente che questo numero è uguale a:
$ \displaystyle \frac{\prod_{1 \le i \le 2005, 5 \nmid i} i}{4!^{401}} $
(il numeratore è il prodotto dei nonmultipli di 5 da 1 a 2005).
Se dividiamo i fattori del numeratore nei blocchi 1....25, 26 ... 50 fino a 2001...2005 (cioè in blocchi di 25 tranne l'ultimo) (togliendo da sti blocchi i multipli di 5, ovviamente) vediamo che la congruenza modulo 25 di ogni blocco è -1. Anche 4! è -1 modulo 25. Si vede allora facilmente che il risultato è 1 modulo 25.
Resta da trovare la congruenza modulo 4. Che è 0: il prodotto di 4 numeri consecutivi è sempre multiplo di 4! (perchè i binomiali sono interi...), ma dividendo in blocchi di 4 il numeratore, troviamo ad esempio che 16*17*18*19 ha ben 2 fattori 2 in più di 4!.

Il risultato dovrebbe essere 01 quindi, no?

eh no...la tua è giusta..ma nn basta....cioè..t 6 scordato il mod 4

Oddio, è un bel (bel? bruttissimo!) modo di perdere punti!

"È congruo a 1 modulo 25 e a 0 modulo 4... quindi è 1!"

Facciamo che è 76

sisi 76
grazie!
un ultima cosa..io ero arrivato alla frazione $ \displaystyle \frac{2005!}{5!^{401}401!} $

e poi tu hai fatto tale passaggio,x il quale ho perso parecchio tempo x capirlo..

edriv ha scritto: Si vede facilmente che questo numero è uguale a:
$ \displaystyle \frac{\prod_{1 \le i \le 2005, 5 \nmid i} i}{4!^{401}} $
(il numeratore è il prodotto dei nonmultipli di 5 da 1 a 2005).

ma..il numeratore nn dovrebbe essere il prodotto dei nonmultipli di 5 da 402 a 2005?
e poi..cm fai a dire subito ke contiene esattamente 5^401 come il denominatore?
io mi sn fatto ttt il viaggione sulla frequenza dei fattori 5

Il trucchetto è questo:
$ \displaystyle 5!^{401}401! = (4!\cdot 5)^{401} 401! = 4!^{401}\cdot 5^{401} \cdot 1 \cdot 2 \cdots 401 $
$ \displaystyle = 4!^{401} \cdot (5 \cdot 1) \cdot (5 \cdot 2) \cdots (5 \cdot 401) $

E così togli tutti i multipli di 5 da 5 a 2005, e poi dividi ancora per $ ~ 4!^{401} $.

e poi tu hai fatto tale passaggio,x il quale ho perso parecchio tempo x capirlo..

... non che io non ci abbia perso parecchio tempo per arrivarci. Poi ci vuole poco a scrivere in 2 righe il risultato ma ho imbrogliato

è vero cazzo...
grazie mille!!