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1)Dimostrare che dati n numeri interi positivi, ve ne sono alcuni (anche uno solo) la cui somma è divisibile per n.

2)Dimostrare che in qualunque modo si scelgono cinque punti in un triangolo equilatero di lato 1 ve ne sono sempre 2 la cui distanza è minore o uguale a 1/2.

3)Dimostrare che dati comunque 5 interi ne esistono 3 la cui somma è divisibile per 3.

Dario86ostia ha scritto:2)Dimostrare che in qualunque modo si scelgono cinque punti in un triangolo equilatero di lato 1 ve ne sono sempre 2 la cui distanza è minore o uguale a 1/2.

con segmenti che uniscono i punti medi si ottengono 4 triangolo equilateri di lato 1/2. Necessariamente almeno due punti dovranno essere scelti sullo stesso tiangolino e quindi di distanza massima il lato (1/2).

Dario86ostia ha scritto:3)Dimostrare che dati comunque 5 interi ne esistono 3 la cui somma è divisibile per 3.

Non si possono sceglierne 5 classi di congruenza senza che almeno 3 siano uguali e 3 siano diverse

1) A volte ritornano!
Siano x1,x2,..,xn gli n numeri positivi.
Si considerino le n somme s1=x1, s2=x1+x2, ..., sn=x1+x2+..xn
Se una di queste è divisibile per n, si ha la tesi.
Altrimenti, poichè si hanno n somme per n-1 classi di resto, esisteranno due somme aventi stesso resto nella divisione per n, siano sj, sk, wlog j>k.
Poichè (sj mod n)=(sk mod n), (sj-sk=0 mod n)
Ricordando che sj=x1+..xj, sk=x1+..xk, sj-sk=x(k+1)+... xj, che è la tesi.

ps..Learning latex soon