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Trovare tutte le coppie di numeri reali che verificano l'equazione

$ a^3+3ab+1=b^3 $

io ho provato a risolverlo facendo così:
$ a^3+3ab+1)=b^3 \rightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
ma mi viene nel primo (il secondo non lo ho provato perchè mi venivano cose di quarto grado)
che le soluzioni erano $ (a,b)=(-1,b) $ ma provando a sostituire nel testo non funzionava.....
dove ho sbagliato?

gian92 ha scritto: $ a^3+3ab+1=b^3 \Longleftrightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $

fin qui va bene...

ma perchè mai dovrebbe essere per forza:

gian92 ha scritto: allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $

??

Cosa vuol dire per te "trovare"? Scrivere una formula chiusa parametrica?

Io l'ho risolto così..provando qualche caso a mano si vede che funzionano le coppie del tipo $ (c,c+1), c \in \mathbb R $. Allora poniamo $ b=a+k $ e sviluppiamo, sperando di ottenere come soluzione $ k=1 $ e ridurre di grado l'equazione. Dopo alcuni passaggi si ottiene
$ (1-k)(3a^2+3ak+1+k+k^2)=0 $
e quindi $ k=1 $ è sempre soluzione, cioè abbiamo trovato le coppie $ (c,c+1) $.
Consideriamo ciò che rimane come un'equazione di secondo grado in $ k $:
$ k^2+(1+3a)k+1+3a^2=0 $
Affinchè questa abbia soluzioni reali deve essere $ \Delta \geq 0 $:
$ (1+3a)^2-4(1+3a^2)\geq 0 \Leftrightarrow -3a^2+6a-3 \geq 0 $$ \Leftrightarrow (a-1)^2\leq 0 \Leftrightarrow a=1 $
da cui si ottiene $ a=1, k=-2\Rightarrow b=-1 $
In conclusione risolvono l'equazione tutte le coppie del tipo $ (c,c+1), c\in \mathbb R $ più la coppia $ (1,-1) $.
Ciao

Ah fattorizzare che piacere

$ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $

Quindi $ x^3+y^3+z^3=3xyz $ se e solo se $ x+y+z=0 $ oppure $ x=y=z $

Ora mettiamo $ x=a $, $ y=-b $ e $ z=1 $. Cosa viene??

$ a^3-b^3+1=-3ab $ se e solo se $ a-b+1=0 $ oppure $ a=-b=1 $

Fine.

fph ha scritto:Cosa vuol dire per te "trovare"? Scrivere una formula chiusa parametrica?

pensavo si facesse come con le diofantee...
si scompone tutto in fattori primi e si impostano i sistemi dai quali si ricavano le incognite...

fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali

ecco dove ho sbagliato....

gian92 ha scritto:

fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali

ecco dove ho sbagliato....

altrimenti lo avresti trovato in tdn...