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Sia $ a_n $ una successione che ha per limite $ a $.
Si calcoli quanto vale il limite per n tendente a $ +\infty $ di
$ \displaystyle \prod_{i=1}^{n}(1+\frac{a_i}{n}) $

mmm, come al solito non dovrei postare in mne, ma mi piace e quindi ci provo..

credo chepossiamo vedere tale espressione come un polinomio di radici $ - \frac{a_i}{n} $, con $ a_i $ tendente ad $ a $ (senza il pedice, non voglio cambiare il testo, cercherò di non fare confusone), otteniamo quindi che tale polinomio calcolato in 1 vale $ p (1) = 1 + \sum{\frac{a_i}{n} + \sum{\frac{a_ia_j}{n^2}}...+\prod{a_i} $
all'infinito che puo fare?
$ \displaystyle p (1) = 1 + \sum_{i=1}^{\infty}{{(\frac{a}{n})}^i \binom{n}{i} $=$ \displaystyle 1+\sum{\frac{a^i}{i!}} $
a me pare taylor con $ e^a $

la soluzione è giusta, però ho qualche dubbio sulla liceità dei tuoi polinomi con infinite radici...
E se ragionassi solo intermini di produttorie e sommatorie?

si vabbe se la vuoi dire tutta è il polinomio di taylor centrato in x=0 (dato che ha infiniti termini allora volevo dire che ha infinite radici , è lo stesso problema che si haper calcolare la somma dei reciproci dei quadrati, in questo caso è sufficiente cancellare il mio primo rigo.. )

io veramente pensavo a una roba del tipo

$ \displaystyle log\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{a_i}{n})=\sum log (1+\frac{a_i}{n}) $ e qui ora uso Taylor dicendo che $ log (1+\frac{a_i}{n})=\frac{a_i}{n} $ perchè la successione tende a un limite finito (e quindi la quantità $ \frac{a_i}{n} $ tende a 0).
Ma $ \displaystyle \sum \frac{a_i}{n} $ fa $ a $ per Cesaro e quindi
$ \displaystyle log\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{a_i}{n}) $ tende pure ad $ a $ e pertanto la produttoria iniziale tende a $ e^a $

Qualche giorno fa ho scoperto (grazie edriv ) un risultato semplice da dimostrare ma piuttosto interessante, che può essere sensato citare qui:

Data una successione di termini non negativi $ \{ a_n\} $, e posto $ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) := \lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^n (1+a_k) $, si dimostri che:

$ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n) $ converge se e solo se $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ converge assolutamente.

Si può usare anche come criterio di convergenza, in certi casi.

Sperando di non spararne di troppo grosse...

$ \displaystyle \sum a_n $ converge assolutamente (ma l'assolutamente direi che è inutile perchè è una serie a termini non negativi per ipotesi) allora converge pure $ \displaystyle \sum log(1+a_n) $ per confronto asintotico.
ma $ \displaystyle \sum log(1+a_n)= log \prod (1+a_n) $ che pertanto converge, diciamo a $ l $. In conclusione la produttoria data converge pure a $ e^l $.

Non ci avrei mai pensato (anche perchè di roba sulle produttorie ne poca, quasi per niente)