OliForum Matematico

sia z un numero naturale e n(z) il numero di terne ordinate (n;m;q) con n,m,q naturali tali che n^2+m^2+q^2 = z

Premesso che non mi pare che si possa esprimere n(z) in maniera facile 2 domande

1 trovare una formula approssimata per n(z) con z grande

2 qualcuno sa se un pazzo dotato di un computer potente si è messo a calcolare i valori esatti della funzione e se si possono trovare delle tabelle, non si tratta di una funzione inutile mi serve per contare un numero di stati e qualcuno ha già trovato sicuramente questo problema.

grazie ciao

iactor ha scritto:sia z un numero naturale e $ n(z) $ il numero di terne ordinate $ (n;m;q) $ con n,m,q naturali tali che $ n^2+m^2+q^2 = z $

Premesso che non mi pare che si possa esprimere $ n(z) $ in maniera facile 2 domande

1 trovare una formula approssimata per $ n(z) $ con z grande

Non so quanto quello che ti dico ti potrà essere utile, comunque spannometricamente mi aspetto che per $ z\gg 1 $, meglio forse per $ z\gg\gg 1 $ si abbia:

$ n(z)\leq \frac{\pi}{2}z $,

e che comunque l'andamento sia $ n(z)\propto z $ con qualche costante moltiplicativa.

Quello che ho pensato è che $ n(z) $ sia proporzionale ad un ottavo di una superficie sferica di raggio $ \sqrt z $ nello spazio $ \textrm{\bf N}^3 $ ...

Qui si passa dalla matematica (rigorosa).... alla fisica (...ricordate la barzelletta "...assumiamo che il cavallo sia una sfera...")

Ulam ha scritto:Do not lose your faith. A mighty fortress is our mathematics. Mathematics will rise to the challenge, as it always has.

Esiste una formula esatta per la funzione che cerchi, calcolata da Gauss nella proposizione 291 delle Disquisitiones Arithmeticae.

Certo, se avessi chiesto il numero di scomposizioni come somma di 2, o 4 quadrati, avresti avuto una formula semplice mentre purtroppo

Hardy-Wright ha scritto:The corresponding problems for representations of n by sums of an odd number of squares are more difficult [...] the numer of representations is expressible as a finite sum involving the symbol $ \ \left(\frac{m}{n}\right) $ of Legendre and Jacobi"

Non so di cosa hai bisogno, ma eventuali formule asintotiche che sicuramente esistono non potranno essere molto precise perché la successione si comporta in modo irregolare, per esempio vale 0 su tutti (e soli) gli interi della forma $ \ 4^a(8b+7) $, quindi la congettura di geda non è corretta.

È facile dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n r_3(k)\sim \frac{4}{3}\pi n^\frac{3}{2} $
perché la somma a sinistra è pari al numero di punti interi (meno 1) contenuti in una sfera di raggio $ \ \sqrt{n} $ in $ \ \mathbb{R}^3 $, di cui quello a destra è il volume.

La formula di Gauss puoi trovarla qui

Altre informazioni nell'enciclopedia delle successioni di interi, compresi i valori fino a 10000.


Per approfondimenti ti rimando a qualche articolo

http://citeseer.ist.psu.edu/431367.html
http://plms.oxfordjournals.org/cgi/repr ... /4/575.pdf
http://arxiv.org/abs/math/0502007

Ciao, effettivamente hai ragione, è combinatoria non elementare.....
starò più attenyto grazie!