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Dimostrare che il coniugato isogonale del punto di Gergonne del triangolo tangenziale (=il triangolo che ha per lati le tangenti al circocerchio in A,B,C) sta sulla retta di Eulero.

il coniugato isogonale rispetto a che triangolo?
la retta di Eulero di che triangolo?

Perchè se la risposta ad entrambi è ABC, ... cioè per carità è vero, ma ...

già...il coniugato isognonale del punto di gergonne del triangolo tangenziale rispetto al triangolo tangenziale sta sulla linea di eulero di ABC

Sai che ultimamente posti problemi veramente belli??


Permettetemi di cambiare le lettere:
ABC è ora il triangolo grande, che è il tangenziale di DEF.
I è l'incentro di ABC = circocentro di DEF
MNP il mediale di DEF
G il baricentro di MNP e DEF
L il punto di Gergonne di ABC = punto di Lemoine di DEF, L' il suo coniugato isogonale in ABC
O il circocentro di ABC, O' il circocentro di MNP.

Uso il fatto che L' è un centro di similitudine di incerchio e circocerchio di ABC (era stato dato al winter camp 2007, non so se la dimostrazione c'è su questo forum: una bella dimostrazione c'è sicuro tra i video).
Resta da dimostrare che IO è la retta di Eulero di DEF.

Inverto. Invertendo nella circonferenza di centro I, ABC va in MNP, quindi il circocerchio di ABC va nel circocerchio di MNP, quindi i centri sono allineati con I. O,I,O' (e quindi anche L' con questi) sono allineati. Ma O' è il circocentro di MNP, I l'ortocentro di MNP (perchè circocentro del suo antimediale), quindi questa retta è proprio la retta di Eulero di MNP, che è la stessa di DEF. Fine.

Riassumento, sulla retta di Eulero di DEF ci stanno:
- ortocentro di DEF e MNP
- circocentro di DEF e MNP
- baricentro di DEF e MNP che coincidono
- circocentro di ABC
- il coniugato isogonale in ABC del Gergonne di ABC
- il coniugato isogonale in ABC del Nagel di ABC
Humm...

bella edriv!