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Abbiamo un prisma, le cui due basi sono 2007-agoni regolari.
Ciascun lato delle due basi, e ciascun segmento che collega un vertice di una base a un vertice dell'altra, è colorato di blu o di verde.
Inoltre, in questa variopinta figura non compare nessun triangolo tutto blu o tutto verde.

Dimostrare che tutti i lati delle basi sono verdi, oppure che tutti i lati delle basi sono blu.

Rilancio: per quali N al posto di 2007, esiste un controesempio?

è sicuro che è sbagliato quello che dico...perchè è troppo banale e perchè la domanda di Marco non avrebbe molto senso(a meno che non sia un hint).
Prendiamo un generico lato del 2007-agono di giù e chiamiamolo AB.Ora tiriamo le parallele per A e B al 2007-agono di su e chiamiamo i nuovi vertici C e D. Prendiamo il quadrilatero ABCD e vogliamo dimostrare che AB e CD hanno lo stesso colore. Poniamo(senza perdere generalità) AB verde e CD blu, allora le diagonali AC e BD devono essere di colori opposti altrimenti AOB o DOC violerebbe l'ipotesi, dove O è intersezione di AC e BD. Si vede facilmente che in qualsiasi modo coloriamo AD e BC l'ipotesi è violata. Dunque AB e CD hanno lo stesso colore. Ora consideriamo i lati successivi ad AB e CD nello stesso verso. Chiamiamo quello di giù BK e quello di su CH. Ora poniamo AB e CD blu,per quello che abbiamo dimostr prima si ha AD e CB o entrambi verdi o entrambi blu, e BK e di conseguenza CH verdi, con HK dello stesso colore di CB.Ora poniamo AD blu, dunque CB e HK blu,dunque AC,DB,BH e CK verdi: BO'K e CO'H,violano l'ipotesi dove O' è intersezione delle diagonali.Ora c è il caso in cui AD è verde che implica i colori degli altri lati e diagonali e costruendo giusto altri due nuovi segmenti che congiungono vertici,tra quelli già usati, dei due 2007-agoni si ha in breve contraddizione,e dunque i quattro lati sono dello stesso colore, e così via,transitivamente, chiudendo il 2007-agono che però poteva essere ovviamente a questo punto un generico n-agono.
è orrendo come tentativo di soluzione, mi sembra di aver fatto un sudoku....
Scusate....e fatemi sapere dove sta l'errore

Scusa è che ho scritto male il problema... per "triangoli" si intende triangoli i cui vertici sono anche vertici di uno dei due 2007-agoni.

Quindi quando prendi l'intersezione di AC e BD prendi una via troppo geometrica.

Comunque visto che ormai è passato abbastanza tempo metto una soluzione.
L'osservazione principale è che 2007 è dispari (che si può dimostrare vedendo che la sua ultima cifra è dispari) e che, colorando i nodi (o lati) di un 2007-agono con due colori, troviamo sempre due nodi (o lati) consecutivi dello stesso colore.

Se la tesi è falsa, in uno dei due poligoni possiamo trovare tre vertici consecutivi tali che AB è blu e BC è verde. Partiamo da qui.
Tra tutti i 2007 lati che partono da B e vanno dall'altra parte, per quanto detto prima ce ne sono due consecutivi (BX e BY) dello stesso colore. Senza perdita di generalità, questo colore è il blu.

Ora, BX e BY sono blu, quindi XY è verde.
BX e BA sono blu, quindi AX è verde.
BY e BA sono blu, quindi AY è verde.
AXY è monocromatico: assurdo.