OliForum Matematico

$ \dispaystyle {(102^{73} + 55)}^{87} \equiv x (mod 111) $
qual'è il valore di x?

e qst e il tuo massaggio numero 111
( cmq io applicherei il teorema cinese )

Jacobi ha scritto:e qst e il tuo massaggio numero 111
( cmq io applicherei il teorema cinese...)

caspita è vero (era vero visto che ora sono a 112 con questo messaggio)...

Bè diciamo che l'idea del teorema cinese l'ho avuta anche io, ma poi per svilupparla...
insomma...

svolgendo rapidamente i calcoli ( puo darsi che abbia sbagliato ) viene:
$ x \equiv 1 ( mod 3) \\ x \equiv -1 ( mod 37 ) $

Quindi $ x \equiv 73 (mod 111 ) $

Jacobi ha scritto:svolgendo rapidamente i calcoli ( puo darsi che abbia sbagliato ) viene:
$ x \equiv 1 ( mod 3) $

e ci siamo

Jacobi ha scritto:$ x \equiv -1 ( mod 37 ) $

e qui come ci arrivi?come arrivi a risolvere la congruenza in mod 37

Jacobi ha scritto: Quindi $ x= 73 $

No dovrebbe esser 46 e comunque come li combini i risultati?

Scusate...Io ci provo, anche se nn ne sono completamente sicuro...{scusate la scrittua ma nn ho ancora imparato il LaTeX}

allora x congruo a 1 (mod3) e su questo non ci piove

poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73

quindi 9+3^2 - 3^146 da cui 9+ (3+3^73)(3-3^73)

ora mi diventa 9+ 3(3+3^73)(1-3^72)

che sviluppando 9+3(3+3^73)(1+3^36)(1-3^36)...(1+3^9)(1-3^9)

si vede che 1+3^9 congruo a 0 (mod 37) da cui deriva x congruo a 9 (mod 37)

ora abbiamo

x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade...

Shade ha scritto: poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73

In base a cosa?

Allora mettiamoci daccordo...
parti dal fatto che vuoi risolvere questo?E poi?
$ \displaystyle (102^{73}+55))^{87} \equiv x (mod 37) $

Beh 37 è primo e coprimo con 102, lo stesso vale per 37 e 18... e poi ci sono un po' di conticini, ma neanche troppi

Shade ha scritto: x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade...

non riesco a capire questo passaggio, come colleghi le 2 cose?
e poi perche come ha gia detto angus hai iniziato ponendo x= a quel valore?

alexba91 ha scritto:

Shade ha scritto: x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade...

non riesco a capire questo passaggio, come colleghi le 2 cose?

teorema cinese del resto... ( credo shade intendesse dire $ x\equiv 46 ( mod 111 ) $ )

angus89 ha scritto:e comunque come li combini i risultati?

l'arte di lavorare con le congruenze...
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )

Jacobi ha scritto: l'arte di lavorare con le congruenze...
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )

Bè si è quello che mi manca...l'arte nell'usare le congruenze...ma qualche suggerimento o qualche consiglio lo potete dare no?

Tipo io per risolvere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 3) $
Applico il piccolo teorema di fermat e poi un pò di calcoli fino a stabilire che
$ \dispaystile x \equiv 1 (mod 3) $

Per quanto riguarda
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 37) $
Cosa posso fare?
Tipo applicando Fermat posso scrivere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{15} \equiv x (mod 37) $
E poi?

Cominci dal calcolarti $ 102^{73} \pmod {37} $.
Ad esempio:

$ 102\equiv 28 \pmod{37} $
Ti calcoli poi l'ordine di 28 modulo 27, e vale che:
$ 102^{73}\equiv 102^{73-kord} \pmod {37} $ che dovrebbe essere più facile da calcolare.
Quanto hai ricavato la base fai la stessa cosa con l'esponente 87, o anche come dici te col teorema di fermat.

Premetto che non ho letto tutta la discussione, però vi consiglierei di rifare un po' di conti... sia a me (il che conta poco) sia a Mathematica (il che conta già di più) viene $ x \equiv 10 \pmod {111} $

Ciao!

Tutto mod 37 dentro la parentesi si può fare $ 102^{36}\cdot 102^{36}\cdot 102+55 $ quindi con fermat $ 28+18=9 $ sempre con fermat semplifico l'87 a 15=5x3 e poi ancora qualche calcolino... ed ha ragione darkcrystal

confermo x=46
E' la soluzione che riporta il testo...a meno che non sia sbagliata...

Comunque con calma ora mi rifaccio i calcoli