Si consideri un piano cartesiano xy. Si ponga una carica +q nel punto $ A=(0,h) $ e una carica -q in $ B=(0,-h) $. Seguiamo una linea del campo elettrico che parte dalla carica positiva diretta orizzontalmente (cioè la tangente in A è orizzontale). In che punto questa linea di campo interseca l'asse x?
Il libro da cui ho preso questo problema lo segnala come abbastanza semplice, e dà il suggerimento di "utilizzare la legge di Gauss ed effettuare una semplice integrazione". In genere gli esercizi semplici di questo libro sono molto facili, quindi dovrebbe esserlo anche questo, che però non mi viene ;_;.
Due cariche nello spazio...
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darkcrystal
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Dunque, cominciano le boiate!
Utilizziamo la legge di Gauss come segue: come gaussiana prendiamo una superficie che segua le linee di campo che partono da una delle due cariche e hanno la tangente orizzontale, e poi la tagliamo quando interseca il piano y=0. (viene una specie di brutto paraboloide, per capirsi, con la base sul piano y=0 e al vertice la carica).
Per la legge di Gauss il flusso attraverso questa sappiamo quanto fa; del resto, segue le linee di campo ovunque, quindi il suo flusso è zero, tranne che sul piano y=0. E' quindi sufficiente imporre che il flusso attraverso il piano y in un disco centrato sull'origine e di raggio m - dove m è la nostra incognita, la x in cui la linea di campo incontra l'asse - sia quello previsto dalla legge di Gauss; passando alle formule:
$ d \Phi = 2 \cdot \frac{kq}{h^2} \cdot \left( \frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}} \right)^3 \cdot 2 \pi x dx $, da cui $ \epsilon_0 \int d \Phi=+q \Rightarrow $$ \epsilon_0 4 \pi k h q (\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{h^2+m^2}})=q $, da cui ci si può calcolare m (la prima formula, anche se un po' contorta, dovrebbe semplicemente dare il flusso attraverso un anello centrato nell'origine, moltiplicando l'intensità del campo elettrico per l'"area differenziale" di un anello... ma è facile che l'abbia sbagliata).
Certo che chiamarlo facile...
Aspetto smentite, stavolta, più che conferme!
Ciao!
EDIT: Come previsto c'è qualcosa che non torna (i valori per m vengono un po'... strani, diciamo
. La lascio comunque, non si sa mai che qualcuno ne ricavi qualcosa di buono)
Utilizziamo la legge di Gauss come segue: come gaussiana prendiamo una superficie che segua le linee di campo che partono da una delle due cariche e hanno la tangente orizzontale, e poi la tagliamo quando interseca il piano y=0. (viene una specie di brutto paraboloide, per capirsi, con la base sul piano y=0 e al vertice la carica).
Per la legge di Gauss il flusso attraverso questa sappiamo quanto fa; del resto, segue le linee di campo ovunque, quindi il suo flusso è zero, tranne che sul piano y=0. E' quindi sufficiente imporre che il flusso attraverso il piano y in un disco centrato sull'origine e di raggio m - dove m è la nostra incognita, la x in cui la linea di campo incontra l'asse - sia quello previsto dalla legge di Gauss; passando alle formule:
$ d \Phi = 2 \cdot \frac{kq}{h^2} \cdot \left( \frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}} \right)^3 \cdot 2 \pi x dx $, da cui $ \epsilon_0 \int d \Phi=+q \Rightarrow $$ \epsilon_0 4 \pi k h q (\frac{1}{h}-\frac{1}{\sqrt{h^2+m^2}})=q $, da cui ci si può calcolare m (la prima formula, anche se un po' contorta, dovrebbe semplicemente dare il flusso attraverso un anello centrato nell'origine, moltiplicando l'intensità del campo elettrico per l'"area differenziale" di un anello... ma è facile che l'abbia sbagliata).
Certo che chiamarlo facile...
Aspetto smentite, stavolta, più che conferme!
Ciao!
EDIT: Come previsto c'è qualcosa che non torna (i valori per m vengono un po'... strani, diciamo
. La lascio comunque, non si sa mai che qualcuno ne ricavi qualcosa di buono)"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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