OliForum Matematico

Ma difficile per me.

Ragazzi, potreste aiutarmi su questo problema?

Non riesco a capire se :
1. a->b (a implica b)
2. b-> not a (b implica non a)

, sono predicati che insieme creano una contraddizione oppure se sono coerenti...

Ossia sarebbe una ovvia contraddizione se valesse la relazione transitiva, io credo che valga...vale?

E nel caso fosse una contraddizione, esiste un "logica" in cui possa valere?
Che mi dite?

Grazie

L'insieme $ \{A\rightarrow B,B\rightarrow\neg A\} $ non è contraddittorio, basta prendere un modello in cui $ A $ è falso e $ B $ è vero.

Vale la proprietà transitiva:
a=i cuscini sono verdi
b=i cuscini sono belli
per la 1, se i cuscini sono verdi, allora sono belli, ma se sono belli per la 2 non sono verdi. Ciò implica che a è falsa. Le due relazioni non sono ancora in contraddizione, perchè nelle ipotesi non è presente che a è vera.

EDIT stoppa è arrivato prima di me
RIEDIT @stoppa perchè b dev'essere vera? anche falsa va bene no?

Si anche $ B $ falsa va bene, il mio era solo un esempio per far vedere che l'insieme di proposizioni non era contraddittorio...
Comunque è sufficiente che $ A $ sia falsa per avere un modello.

Il problema si può risolvere esaminando per tutti i possibili valori di verità di a e b quali sono i valori di verità delle proposizioni.
I risultati sono questi:

per a=V, b=V si ottiene 1=V, 2=F
per a=V, b=F si ottiene 1=F, 2=V
per a=F, b=V si ottiene 1=V, 2=V
per a=F, b=F si ottiene 1=V, 2=V

Se non accade mai in nessun caso che 1 e 2 sono tutte e due vere, allora il sistema è contraddittorio; se c'è almeno un caso in cui 1 e 2 sono vere, allora il sistema è coerente.
Nel nostro problema, ci sono addirittura 2 casi in cui 1 e 2 sono veri, cioè (a=F, b=V) e (a=F, b=F), che si può esprimere sinteticamente come (a=F).
Col senno di poi è evidente: una implicazione è vera quando l'antecedente è falso o quando il conseguente è vero.

Stoppa2006 e julio14, vi ringrazio per il chiarimento.

Alla prossima...

Ciao