OliForum Matematico

Scusate se posto un problema che secondo me è banalissimo è che il non riuscire a risolverlo è frustrante , non ce la faccio più, non so cosa mia stia predendo, per cui ho deciso di proporlo al forum; dunque il problema è il seguente: dato un tetraedro qualsiasi, dimostrare che se le facce sono isoperimetriche allora sono anche congruenti. Ripeto, ho la sensazione che la soluzione sia molto semplice ma non riesco proprio a trovarla, spero mi possiate dare una mano, grazie.

Dato lo spigolo $ a $ opposto a $ f $, $ b $ opposto ad $ e $ e $ c $ a $ d $, si pone questo sistema in base all'isoperimetria dei triangoli di $ a $ e di $ f $
$ b+c=d+e $
$ b+d=c+e $
da cui $ d=c $, lo stesso vale per gli altri spigoli opposti. Quindi per il terzo criterio tutti i triangoli sono congruenti.

A,B,C,D sono i vertici allora considerando ABC e ABD otteniamo $ AC + BC = AD + BD $, mentre considerando CAD e CBD abbiamo $ AC + AD = BC + BD $ e dal sistema si ottiene BC = AD e AC = BD e ugualmente AB = CD.
Quindi gli spigoli opposti sono uguali e le faccie sono tutte congruenti essendo triangoli con gli stessi lati...

Ottimo, adesso mi sento molto meglio , grazie mille ragazzi.