Soluzione che fa forse uso di un po' troppi "cannoni", mi sa che c'è un modo più rapido per arrivare a conclusione. Comunque così mi è venuta, e la scrivo lo stesso.
Se $ \{x_n\} $ è una successione reale, una
sottosuccessione è in breve una successione della forma $ \{x_{n_k}\} $ ove $ \{n_k\} $ è una successione di indici
crescente.
Distinguiamo ora due casi. Il primo, è che la successione data $ \{x_n\} $ sia non limitata. Supponiamo che sia non limitata superiormente, il caso della non limitatezza inferiore è analogo, mutatis mutandis. Dunque, possiamo scrivere che per ogni $ M $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $. Equivalentemente, possiamo scrivere che per ogni $ M \geq M_0 $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_n > M $, ove $ M_0 $ è una costante fissata (se non ci credete provate a mostrarlo rigorosamente). Ora, costruiamo la sottosuccessione richiesta. Poniamo $ n_1=1 $. Poi, induttivamente: fissiamo $ i \in \mathbb{N}, i > 1 $ arbitrario e supponiamo di aver costruito i primi $ i $ termini di $ \{x_{n_k}\} $; grazie a quanto detto sopra, abbiamo che per ogni $ M \geq x_{n_i} $, esiste un indice $ m $ tale che $ x_m > M $. Sicuramente $ m > n_i $, altrimenti si arriverebbe ad un evidente assurdo. Scegliendo allora $ M=x_{n_i} $, abbiamo che $ x_m > x_{n_i} $. Possiamo allora definire $ n_{i+1}=m $. Induttivamente, abbiamo così costruito una sottosuccessione $ \{x_{n_k}\} $ che risulta essere monotona crescente.
Il secondo caso, è che la successione data sia limitata. Allora, applicando il
Teorema di Bolzano-Weierstrass, estraiamo da essa una sottosuccessione convergente. Per non tirarci dietro notazioni pesanti, supponiamo direttamente che $ \{x_n\} $ sia convergente e cerchiamo di costruire una sottosuccessione monotona (ovviamente, una sottosuccessione di una sottosuccessione è una sottosuccessione della successione di partenza!). La definizione di successione convergente ad un limite $ \ell $ ci dice che, per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste un indice $ m $ tale che per ogni $ n \geq m $, $ |x_n - \ell| \leq \varepsilon $. Ora, notiamo che i due insiemi $ A=\{x_n : x_n > \ell\} $ e $ B=\{x_n : x_n < \ell\} $ non possono essere entrambi finiti a meno che la successione non sia definitivamente costante (caso banale in cui si vede subito quale sottosuccessione monotona estrarre...) Uno dei due, quindi, è sicuramente infinito. Supponiamo WLOG che sia $ A $. Mostriamo ora che $ \inf A = \ell $. Intanto, per definizione dell'insieme $ A $, $ \ell $ risulta essere un minorante. Per la definizione di estremo inferiore ("massimo dei minoranti"), allora sicuramente $ \ell \leq \inf A $. Ora, supponiamo per assurdo che $ \ell < \inf A $. Allora possiamo scrivere $ \inf A = \ell + \varepsilon_0 $ per un certo $ \varepsilon_0 > 0 $. Applicando la definizione di limite con $ \varepsilon = \varepsilon_0 $, si trova un indice $ m $ tale che, per ogni $ n \geq m $, $ \ell - \varepsilon_0 \leq x_n \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $. Siccome $ A $ è infinito per ipotesi, dovrà esistere un indice $ n' \geq m $ tale che $ x_{n'} \in A $. Dunque, per quell'elemento varrà anche che $ x_{n'} \leq \ell + \varepsilon_0 = \inf A $, assurdo perché $ \inf A $ è un minorante. Dunque abbiamo mostrato anche che $ \ell \geq \inf A $, da cui possiamo concludere che $ \inf A = \ell $ [in realtà forse non serve dimostrare questa cosa, ma vabeh]. A questo punto, definiamo la successione di indici che ci serve per costruire la sottosuccessione $ \{x_{n_i}\} $, in questo modo: per ogni $ i $, sia $ n_{i+1}=\min \{j \in \mathbb{N} : j > n_i, \ell < x_j < x_{n_i} \} $. La definizione è buona, perché grazie alla definizione di estremo inferiore, si ha che per ogni $ \varepsilon > 0 $ esiste un elemento $ x_j > \ell $ (cioè, dell'insieme $ A $) tale che $ x_j < \ell + \varepsilon $. Scegliendo $ \varepsilon = x_{n_i} - \ell $ si trova l'elemento $ x_j $ che ci serve affinché la definizione data sopra sia, appunto, buona. Risulta dunque costruita l'opportuna successione crescente di indici $ \{n_i\} $, da cui anche la sottosuccessione monotona decrescente $ x_{n_i} $, come volevamo.
Ah, solo una postilla. Io ho usato Bolzano-Weierstrass per arrivare a conclusione, ma in realtà questo fatto ne è una generalizzazione. Infatti, se da una successione limitata è possibile estrarre una successione monotona, allora quella successione estratta è per forza convergente. Meno male che doveva essere un esercizio "da liceali per impratichirsi", Bolzano-Weierstrass è un teoremone!
