OliForum Matematico

Apprendendo i rudimenti della trigonometria mi sono posto un quesito che mi ha consentito di non apprendere i rudimenti di trigonometria per impazzare in cose di teoria che manco conosco quindi mi appello a voi sapienti universitari(o chi per essi) per vedere se ho ragionato bene(ovviamente posterò il ragionamento dopo qualche risposta) : Data una funzione periodica f(x) trovare tutte le funzioni g (x) tali che f(g(x)) sia ancora periodica. Ora poichè anche l'occhio vuole la sua parte ci si può chiedere quale andamento deve seguire il grafico di tale g (x)? Per giustificare la conclusione ho usato cose su vettori e traslazioni che conosco per sentito dire e potenza del continuo e numerabilità di cui conosco appena i rudimenti e i teoremi più famosi..perciò questo post andava forse bene pure in glossario di base , però il problema c'è quindi ho pensato che qui pure sta bene...spero che i moderatori concordino e che il fatto non sia una banalità...in tal caso invece aspetto che il topic sia chiuso...
Ciao
p.s:le riflessioni sul grafico sono carine perchè si rappresentano grafici di funzioni stranote come casi particolari di più generali grafici malati...che secondo me è una figata

(premetto di essere stato avvantaggiato in termini di tempo, e che quando a prima vista ho letto il quesito ho dato una risposta non esatta, e peraltro sono insicuro anche di questa, aspetto pareri dai piu esperti in materia..)

il problema è "data f periodica trovare condizioni necessarie e sufficienti su g tali che f(g) sia anch'essa periodica".

siano f e g dai reali sui reali.
non si è fatta nessuna ipotesi sulla continuità di f ( ne tantomeno di g); peraltro sappiamo che esiste $ T_0 \in R^+ $ tale che $ f(x)=f(x+T_0), \forall x \in D_f $ (dove $ D_f $ è il dominio di f). non è fatta alcuna ipotesi nemmeno sulla invertibilità di f in un intervallo $ [\phi, \phi+T_0] \in D_f $ (supposto che esista altrimenti sarebbe vana anche l'ipotesi di periodicità ).

fatte queste premesse, consideriamo l'insieme S dei reali tali che $ S=\{(\lambda_2-\lambda_1) | \lambda_{1,2}\in D_f, \phi \le \lambda_1 < \lambda_2 < T_0+\phi, f(\lambda_1)=f(\lambda_2)\} $ allora per ipotesi abbiamo che:
$ f(g(x))=f(g(x)+nT_0)=f(g(x+T_1)), $$ \forall x \in D_g \in D_f, T_1 \in R^+,\forall n \in N $, quindi possiamo imporre che:
$ g(x)+nT_0=\lambda_1+aT_0, a \in N $ e
$ g(x+T_1)=\lambda_2+bT_0,b\in N $ da cui la relazione che vale $ \forall x \in D_g \in D_f $:
$ \displaystyle g(x+T_1)-g(x)=kost=\pm s_i + kT_0, k=(b+n-a)\in N, s_i \in S $.


notiamo che se S fosse vuoto allora la soluzione sarebbe quasi banale (seppur dobbiamo fare le dovute limitazioni coi relativi domini), inoltre è interessante notare che se f e g fossero continue e se l'insieme S contenesse almeno tutti i reali da 0 a $ \frac{T_0}{2} $(incluso) allora potremmo concludere con tutte le funzioni g tali che $ g(x+T_1)-g(x)=r, r \in R $

bye