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Spero che non sia un fatto noto comunque:

Dimostrare che la retta che congiunge l'incentro e il punto di Gergonne è parallela alla retta che congiunge l'ortocentro e il punto di Mittenpunkt (=punto di lemoine del triangolo excentrico).

Detto e appurato questo Lemma (l'1, che attende una risposta) sappiamo come suo equivalente che mittenpunkt, spieker e ortocentro sono allineati.
Ma allora il problema equivale a dimostrare che Spieker-MIttenpunkt è parallela a Incentro-Gergonne, ma ricordando che Spieker è l'incentro del triangolo mediale e Mittenpunkt è Gergonne del mediale abbiamo che la celeberrima omotetia centrata nel baricentro di fattore $ -\frac{1}{2} $ manda una retta nell'altra.