OliForum Matematico

Ciao a tutti. Vi propongo un quesito che mi è capitato ieri a scuola in un test di matematica a risposta multipla. L'esercizio diceva:

In un'urna ho 5 palline rosse e 4 bianche. Ne estraggo una e la metto da parte senza vederla; ne estraggo un'altra e la guardo. Sapendo che quest ultima è bianca, che probabilità c'è che anche la prima sia bianca?

Poichè il mio prof appende sempre le risposte subito dopo il test, è sorta una discussione su questo esercizio, ed il prof alla fine ha deciso che avrebbe ricontrollato la soluzione. Non riporto la risposta che ha dato lui e quella che ho dato io per non influenzare nessuno

Se non ricordo male le opzioni erano:
A) 2/9
B) 4/9
C) 3/8
D) 1/6
E) 1/2

Grazie in anticipo!!

Improvvisandomi psicologo dilettante e suppondendo che il tuo prof abbia risposto 3/8 e tu 4/9, do ragione al tuo prof.
Abbiamo $ 4\cdot 8=32 $ combinazioni equiprobabili in cui la seconda pallina è bianca, di queste $ 4\cdot 3=12 $ hanno anche la prima pallina bianca, quindi la probabilità è 3/8. La seconda pallina non influenza la prima, ma ti dà un'informazione su di essa (dal punto di vista del calcolo, di fatto, influenzandola). Questo perchè non reintroduci la prima pallina nell'urna, altrimenti è ovvio che la probabilità è 4/9. Metti che avevi una pallina bianca e quattro rosse, se la seconda pallina che estraevi era bianca, non ti diceva proprio niente sulla prima?

A="esce bianca alla prima", B="esce biaca alla seconda"
usando Bayes viene:
$ \displaystyle p(A|B) = \frac{p(B|A) \cdot p(A)}{p(B)} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9}}{\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}} = \frac{3}{8} $

Grazie per la risposta ad entrambi: sono contento di vedere che ho ragionato come voi!

Infatti (al contrario di quanto pensa julio... ) ho risposto anche io 3/8...

Anche io ho portato come esempio il caso in cui ci fosse una sola pallina bianca, ed è per questo che il prof si è convinto a rivedere l'esercizio. In particolare durante il compito ho utilizzato come verifica la formula di Bayes, ma il prof alla fine mi ha detto che non andava bene perchè la prima uscita non era condizionata dalla seconda.

Ovviamente adesso che avete confermato 3/8 la risposta sembra banale, ma dato che avevo contro quasi tutta la classe...

In effetti, poichè la prima pallina estratta viene nascosta, e poi si estrae la seconda e la si guarda, è come se si estraesse prima una pallina guardandola e poi se ne dovesse estrarre un'altra...

ecco perchè non devo fare lo psicologo

Questa situazione mi ricorda quanto proposi il problema di Monty Hall in famiglia. Avevo tutti contro, anche quando gli feci vedere che la mia soluzione era corretta!

Spero che conosciate questo problema...

altrimenti andate su google e cercatelo.

ciao