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Notazioni: $ \triangle ABE = 1 $, $ \triangle BCE = 2 $, $ \triangle CDE = 3 $, $ \triangle DAE = 4 $, $ K_i $ è il punto di Lemoine dell'i-esimo triangolo e $ G_i $ il baricentro dell'i-esimo triangolo.

Sia ABCD un quadrilatero ciclico e E l'intersezione delle diagonali. Dimostare le rette $ G_1G_3 $, $ K_1K_3 $, $ G_2G_4 $ e $ K_2K_4 $ si inscrociano formando un quadrilatero ciclico.

[i vertici del quadrilatero sono $ A': G_1G_3 \cap G_2G_4 $, $ B':K_1K_3 \cap G_2G_4 $, $ C': K_1K_3 \cap K_2K_4 $ e $ D':G_1G_3 \cap K_2K_4 $]

uppino

Carino! Piano di lavoro:

1) $ EAD $ inversamente simile ad $ ECB $
2) Sistema di riferimento centrato in $ E $
3) Trilineari $ \longrightarrow $ Baricentriche per $ K_2 $ e $ K_4 $
4) $ \left\{\begin{array}{rcl}\vec{G_2}-\vec{G_4}&\longrightarrow&\vec{A}+\vec{D}\\ \vec{K_2}-\vec{K_4}&\longrightarrow&\|\vec{D}\|^2 \vec{A}-\|\vec{A}\|^2 \vec{D}\end{array}\right. $
5) Concludo attraverso i prodotti scalari $ (\vec{G_2}-\vec{G_4})\circ(\vec{G_1}-\vec{G_3}) $ e $ (\vec{K_2}-\vec{K_4})\circ(\vec{K_1}-\vec{K_3}) $

Dettagli in futuro (o magari qualcuno ha voglia di sistemare la faccenda?)