OliForum Matematico

Salve ragazzi.
Sono nuovo di queste parti. So che questo è il forum delle Olimpiadi della Matematica e che quindi esercizi diversi da quelli olimpici sono poco graditi. Ma trattandosi di un "problema" che non è scolastico e non essendo la domanda che sto per farvi una domanda teorica, ho pensato che potevate darmi ugualmente una mano.

Mi chiedevo se qualcuno di voi sapeva (diciamo anche che il verbo è infelice: sono sicuro che "sapete", quindi sarebbe più corretto dire "aveva voglia e tempo") di farmi vedere come si dimostra che:

$ \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2} = \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2} $ se e solo se tutti gli $ x_{k} $ sono uguali tra loro.

Ci sto sbattendo la testa sopra da un paio di giorni ma niente (non sono quello che può definirsi un fenomeno in matematica )
Vi ringrazio anticipatamente e mi scuso qualora il mio post non rispetti la politica del forum.
Buon fine settimana.

Più in generale:

$ (\sum a_ib_i)^2 \leq (\sum a_i^2)(\sum b_i^2) $ con i da 1 ad n.

L'uguaglianza vale se e solo se gli a_i ed i b_i sono proporzionali.

Questa cosa si chiama Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e vi sono molte dimostrazioni. Sicuramente c'è un topic in questo forum intitolato "Come sarebbe il mondo senza Cauchy-Schwarz" o simili... lì trovi molte dimostrazioni.. comunque una dimostrazione è: il polinomio nella indeterminata x $ \sum(a_ix-b_1)^2 $ ha discriminante non positivo; in particolare il discriminante è nullo sse gli ai e i bi sono proporzionali.