OliForum Matematico

Sia $ n>0 $ un numero naturale, $ \mathbb{K} $ un campo con più di $ n $ elementi, $ M(n,\mathbb{K}) $ lo spazio delle matrici$ n \times n $ su $ \mathbb{K} $. Dimostrare che
$ \{XY-YX\ |\ X,Y \in M(n,\mathbb{K})\} $
è un sottospazio vettoriale di $ M(n,\mathbb{K}) $ e calcolarne la dimensione.

Buon lavoro a tutti. Se qualcuno vorrà posso fornire un paio di hint..

chi si rivede

Che esercizio buffo...

Una matrice si può scrivere come XY-YX se e solo se è a traccia nulla; quindi tale insieme è descritto dall'eq.lin. sum x_{ii}=0 e dunque ha dimensione n^2-1.

Molto simile a un esercizio che ho trovato spulciando vecchi esami di dottorato...
(1) data un'algebra su \mathbb C di dimensione finita, dimostrare che non esistono due elementi tali che AB-BA=kI, con k diverso da zero e I l'identità.
(2) trovare un controesempio tra le algebre di dimensione infinita.

(1) l'avete già fatto, per (2), beh, se avete fatto un certo corso che apparentemente non c'entra nulla... (Sisifo non l'ha (ancora) fatto; Evariste, tu l'hai fatto, quindi spremiti pure le meningi )

EvaristeG ha scritto:Che esercizio buffo...

Una matrice si può scrivere come XY-YX se e solo se è a traccia nulla; quindi tale insieme è descritto dall'eq.lin. sum x_{ii}=0 e dunque ha dimensione n^2-1.

Mi dai un hint su come dimostro questo? Grazie

Beh, spetterebbe a Sisifo dare hint ... il problema è suo.
Cmq, che tutte le matrici della forma XY-YX abbiano la proprietà che ho detto, è ovvio; che quella proprietà le caratterizzi ...

ogni matrice a traccia nulla è simile ad una con tutti zeri sulla diagonale principale ... questa dovrebbe essere più facile da scrivere come ZW-WZ

Per rispondere a fph, per essere oscuro, potrei considerare un opportuno spazio di funzioni (le funzioni $ \mathcal{C}^\infty $ ad esempio) e l'algebra degli operatori lineari su di esso, verificando che $ f(x)\mapsto xf(x) $ e $ f(x)\mapsto \frac{d}{dx}f(x) $ sono lineari e che
$ x\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}(xf(x))=-f(x)=-Id(f(x)) $.

Oppure, potrei semplicemente dire : "Sì, mi ricordo un po' di meccanica quantistica."

fph ha scritto:(1) l'avete già fatto

Beh, c'e' un passetto che manca in effetti. E' un passetto molto semplice, ma e' sempre interessante da notare

(in realta' e la stessa tecnica che mostra che ogni gruppo e' un sottogruppo di un gruppo di permutaioni e che ogni anello e' un sottoanello degli endomorfismi di qualche gruppo abeliano... e che invece fallisce con le algebre di Lie)