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Dimostrare:

i) $ \displaystyle \binom{p^2}{p}\equiv p \pmod{p^3} $, per ogni primo p >3.

ii)$ \displaystyle \binom{ap}{p}\equiv a \pmod{p^3} $ per ogni a intero positivo e p primo >3.

iii)$ \displaystyle \binom{ap}{bp} \equiv \binom{a}{b}\pmod{p^3} $ per ogni $ a \ge b $, $ a,b \in N $ e p primo > 3.


(naturalmente ogni domanda include la precedente, quindi iniziate dove vi pare)

Voglio dimostrare la (i).

Cominciamo col provare che $p||{p^2 \choose p}$.
In generale,
$\nu_p \left[(pn)! \right]=n+\nu_p(n!)$, infatti $(n-i)p|(pn)!$ per $0\le i<n$.
Per quanto detto,
$\nu_p \left[{p^2 \choose p} \right]=\nu_p\left[(p^2)! \right]-\nu_p(p!)-\nu_p \left[(p^2-p)! \right]=1$.
Ora sappiamo che $p^{-1}{p^2 \choose p} \in \mathbb{N}$.
$\displaystyle p^{-1}{p^2 \choose p}=\frac{(p^2-1)(p^2-2) \cdot ... \cdot (p^2-p+1)}{(p-1)!}\equiv (-1)^{p-1} \pmod {p^2}$
Pertanto,
$\displaystyle {p^2 \choose p}\equiv p \pmod {p^3}$, per ogni primo $p\ge 3$.