OliForum Matematico

x, y z sono reali positivi.
Determinare se la seguente disuguaglianza è sempre verificata:

$ \displaystyle\sum_{cyc}x^4+x^2yz-2x^2y^2\ge 0 $

In caso di risposta negativa dimostrare che è verificata (per giunta con disuguaglianza stretta) se x, y e z sono i seni degli angoli di un triangolo acutangolo non equilatero.

Ammetto che non ne conosco la risposta, però mi viene fuori da un problema di geometria...

ps: se questa volta darkcrystal volesse bruciarlo dopo 3 secondi, faccia pure

$ \sum_{cyc}{x^4+x^2yz-2x^2y^2} \ge \sum_{cyc}{x^4+x^2yz-x^3(y+z)} $ = $ \sum_{cyc}{x^2(x-y)(x-z)} \ge 0 $

la prima disuguagliaza è vera per bunching $ \sum_{sym}{x^3y}\ge \sum_{sym}{x^2y^2} $

la seconda disuaguaglianza è vera per schur, infatti per ogni $ r \in R^+ $ e per ogni $ x,y,z \ge 0 $:
$ \sum_{cyc}{x^r(x-y)(x-z) \ge 0 $

[edit :uguaglianza sse x=y=z o (x=y,z=0), valide anche per bunching]
[@salva, un saluto, ma considera che per avere la disuguaglianza stretta devi eliminare anche il caso in cui il triangolo è degenere con due angoli retti]

bye

ugh, grazie mille jordan

nel frattempo l'ho risolta con metodi brutali: assumo un'ordinamento (posso farlo perchè in realtà è tutto simmetrico) e pongo x=z+b, y=z+a con b>a... dopo migliaia di conti si chiude

ps: ora metto in geom il problema originale


@ jordan: scusa, ma se il triangolo è acutangolo come fa a essere degenere con due angoli retti?

Scannonata pazzesca (cosa equivalente al lemma ABC presentato all'ultimo stage).
Hojoo Lee insegna che se p(x,y,z) è omogeneo, di grado 3, allora $ p(1,1,1) \geq 0 \mbox { e } p(1,1,0) \geq 0 \mbox { e } p(1,0,0) \geq 0 \Rightarrow p(x,y,z) \geq 0 $ per ogni (x,y,z) non negativi (dimostrarlo potrebbe essere interessante...)

Chiamiamo s la somma, p il prodotto e q il termine quadratico (insomma, le funzioni simmetriche elementari) di x,y,z.

Ora, il testo è equivalente a (questo invece era facile sul serio, da vedere) $ 9s p +s^4-4s^2q \geq 0 $, da cui raccolgo una bella s per ottenere $ 9p+s^3-4sq \geq 0 $. Questo è omogeneo di grado 3 e rispetta le ipotesi, quindi la disuguaglianza è vera.

Ciao!

p.s. ho aspettato che venisse fuori una soluzione decente, perchè questa è veramente una schifezza indicibile...

Mmm... lo Schur che insegnavano a noi ai vecchi tempi aveva un esponente "variabile", vedi per esempio la prima formula di wikipedia. Mi sembra che questo risolva al volo la disuguaglianza che serve a te, isn't it?

a me non sembra che si riesca a chiudere semplicemente con la shur: mi pare che sia necessario massimizzare per bunching il termine negativo come ha fatto jordan, prima di usare shur

Beh, io ho fatto le due cose nell'ordine inverso: stimi i due termini positivi con Schur "versione con esponente=2", poi ti resta una disuguaglianza che è ovvia per bunching.