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Siano $ a_i, i \in \{1,2,...9\} $ interi positivi distinti nella cui fattorizzazione non compaiono mai primi superiori a 3.
Dimostrare che è possibile scegliere una terna il cui prodotto sia un cubo perfetto.

Qualcuno può postare la soluziione per piacere...
Penso che per me sarebbe molto istruttiva...

Grazie

Non vorrei scrivere eresie ma...
[infatti ho scritto eresieXD i'm working on it]

Ok.
Visto che nesuno ci prova posto l'inizio....
I 9 $ a_i $ possono essere fattorizzati nella forma $ 2^{x_i} \cdot 3^{y_i} $

Affinchè il prodotto di 3 a_i sia un cubo perfetto deve essere
$ x_1+x_2+x_3 \equiv 0 \mod3 $
$ y_1+y_2+y_3 \equiv 0 \mod3 $

E' semplice dimostrare che le due congruenze sono vere separatamente (presi 9 numeri, 3 hanno sicuramente lo stesso resto modulo 3 quindi il loro prodotto è congruo a 0 modulo 3).

Non riesco però a dimostrare che le 2 congruenze possono valere contemporaneamente.
Qualcuno mi aiuta???

Hint: E' sufficiente che ci siano 5 coppie distinte (mod 3) affinché ne esistano 3 con somma (0,0).

Ok. Seguendo il tuo suggerimento...

Lemma 1: E' sufficiente che ci siano 5 coppie distinte (mod 3) affinché ne esistano 3 con somma (0,0).
Dimostrazione:
Prendiamo 5 generiche coppie distinte (x_i,y_i) di interi modulo 3.
Consideriamo i valori di $ x_i $:
1) Se 3 $ x_i $ hanno lo stesso valore, poichè le coppie devono essere distinte, si avrà $ y_1 = 0, y_2 = 1, y_3 = 2 \rightarrow x \equiv 3k \equiv 0 $ e $ y \equiv 1+2+3 \equiv 0 $. E il lemma è dimostrato.

2) Se meno di 3 $ x_i $ hanno lo stesso valore allora, per il pigeon hole, ci sono esattamente 3 valori di $ x_i $ diversi. Allora abbiamo una classe (chiamiamola 1) da un elemento ( in cui ad un $ x_1 $ corrisponde un preciso valore di $ y_1 $ e 2 classi (chiamiamole 2 e 3) in cui gli $ y_i $ assumono 2 valori diversi per ognuna.
Consideriamo allora la somma tra $ y_1 $ e uno dei 2 valori di $ y_2 $.
2.1)Se uno dei 2 valori possibili di $ y_3 $ rende la somma multipla di 3 allora il lemma è dimostrato.
2.2)Se ciò non succede basta considerare la somma con l'altro valore di $ y_2 $. Per questo valore esisterà sicuramente un valore di $ y_3 $ che renda la somma multipla di 3 (infatti se abbiamo 2 valori diversi di $ y_3 $ e li sommiamo a 2 diversi resti modulo 3, almeno una delle somme sarà congrua a 0 modulo 3). Anche in questo caso il lemma è dimostrato.

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Dimostrazione:
Se tra le 9 coppie ce ne sono almeno 3 che sono, pur essendo distinte, sono congrue tra loro modulo 3 allora il prodotto tra gli $ a_i $ corrispondenti sarà un cubo perfetto. (infatti $ 3k \equiv 0 \mod3 $)

Se ciò non si verifica allora ci saranno al massimo 2 coppie congrue tra loro modulo 3 per ogni classe di congruenza.
Ma allora ci saranno, per il principio dei piccioni, almeno 5 coppie distinte modulo 3.
Quindi, per il lemma 1, ci saranno 3 coppie con somma (0,0) e quindi almeno 3 numeri il cui prodotto sia un cubo perfetto.

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Credo che la dimostrazione funzioni anche se la parte del lemma è decisamente molto contorta (specialmente la fine). Qualcuno ha dei suggerimenti da darmi per migliorarla, anche in vista del rigore necessario a Cesenatico?? (quest'anno parteciperò alle nazionali e sto cercando di prepararmi al meglio...)

E' un tantino contorta ma mi sembra che vada bene

Concordo con te... suggerimenti x migliorarla????

La tua dimostrazione ovviamente è giusta, però si può spendere qualche parola in più giusto per rendere un po' più chiaro il ragionamento... Ad esempio:
Supponiamo che non ci siano residui che si ripetono 3 volte nè tra gli $ x_i $ nè tra gli $ y_i $.
Ci saranno allora 5 coppie di cui le prime due con $ x_1 $, la terza e la quarta con $ x_2 $ e la quinta con $ x_3 $, dove $ x_1,x_2,x_3 $ sono tutti i residui mod 3.
Intanto prendo la coppia con $ x_3 $. Insieme a $ x_3 $ ci sarà un $ y_3 $; se questo $ y_3 $ non compare nelle altre quattro coppie sono a posto perché le altre quattro coppie saranno tutte le combinazioni di $ x_1,x_2 $ con $ y_1,y_2 $ (dove $ y_1,y_2,y_3 $ sono tutti i residui mod 3) e mi basta prendere ad esempio $ (x_1,y_1) $ e $ (x_2,y_2) $.
Se invece $ y_3 $ compare in un'altra coppia (in più di due non può comparire), supponiamo che compaia insieme a $ x_2 $; allora escludo questa coppia $ (x_2,y_3) $ e prendo invece l'altra con $ x_2 $, diciamo $ (x_2,y_2) $. Le due rimanenti dovranno necessariamente essere $ (x_1,y_1) $ e $ (x_1,y_2) $, e mi basta prendere $ (x_1,y_1) $.
In conclusione riesco sempre a prendere tre coppie del tipo $ (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) $ con somma $ (0,0) $ mod 3.

Grazie mille della disponibilità e dell'aiuto!!!

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